206. Точки К и Р — середины сторон АВ и AD параллело- грамма ABCD (рис. 43). Выразите вектор КР через векторы ВС = а и СД = b. - 208. D точка пересечения диагоналей выпуклого четы- рёхугольника MKPF, MD: DP = 4: 9, KD: DF = 7:3. Выразите векторы МК, КР, PF и FM через векторы KD = m и MD = p.

Сейчас помогу разобраться!

Решение задания 206:

Логика такая:

1. Выразим вектор \(\overrightarrow{AP}\) через \(\overrightarrow{AD}\): Так как P - середина AD, то \(\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \vec{a}\).
2. Выразим вектор \(\overrightarrow{AK}\) через \(\overrightarrow{AB}\): Так как K - середина AB, то \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = -\frac{1}{2} \vec{b}\).
3. Выразим вектор \(\overrightarrow{KP}\) через векторы \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{AK}\): \(\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \vec{a} - (-\frac{1}{2} \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).

Решение задания 208:

Смотри, тут всё просто:

1. Выразим вектор \(\overrightarrow{MK}\):

Разбиваем \(\overrightarrow{MK}\) на сумму векторов \(\overrightarrow{MD}\) и \(\overrightarrow{DK}\):

\[\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DK}\]

Так как \(\overrightarrow{KD} = \vec{m}\), то \(\overrightarrow{DK} = -\vec{m}\). Подставляем известные значения:

\[\overrightarrow{MK} = \vec{p} - \vec{m}\]

2. Выразим вектор \(\overrightarrow{KP}\):

Разбиваем \(\overrightarrow{KP}\) на сумму векторов \(\overrightarrow{KD}\) и \(\overrightarrow{DP}\):

\[\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{KD} + \overrightarrow{DP}\]

По условию \(\frac{MD}{DP} = \frac{4}{9}\), следовательно \(\overrightarrow{DP} = \frac{9}{4} \overrightarrow{MD} = \frac{9}{4} \vec{p}\). Подставляем известные значения:

\[\overrightarrow{KP} = \vec{m} + \frac{9}{4} \vec{p}\]

3. Выразим вектор \(\overrightarrow{PF}\):

Разбиваем \(\overrightarrow{PF}\) на сумму векторов \(\overrightarrow{PD}\) и \(\overrightarrow{DF}\):

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF}\]

По условию \(\frac{KD}{DF} = \frac{7}{3}\), следовательно \(\overrightarrow{DF} = \frac{3}{7} \overrightarrow{KD} = \frac{3}{7} \vec{m}\). Так как \(\overrightarrow{DP} = \frac{9}{4} \vec{p}\), то \(\overrightarrow{PD} = -\frac{9}{4} \vec{p}\). Подставляем известные значения:

\[\overrightarrow{PF} = -\frac{9}{4} \vec{p} + \frac{3}{7} \vec{m}\]

4. Выразим вектор \(\overrightarrow{FM}\):

Разбиваем \(\overrightarrow{FM}\) на сумму векторов \(\overrightarrow{FD}\) и \(\overrightarrow{DM}\):

\[\overrightarrow{FM} = \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DM}\]

Так как \(\overrightarrow{DF} = \frac{3}{7} \vec{m}\), то \(\overrightarrow{FD} = -\frac{3}{7} \vec{m}\). Так как \(\overrightarrow{MD} = \vec{p}\), то \(\overrightarrow{DM} = -\vec{p}\). Подставляем известные значения:

\[\overrightarrow{FM} = -\frac{3}{7} \vec{m} - \vec{p}\]

Ответ: В задании 206: \(\overrightarrow{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). В задании 208: \(\overrightarrow{MK} = \vec{p} - \vec{m}\), \(\overrightarrow{KP} = \vec{m} + \frac{9}{4} \vec{p}\), \(\overrightarrow{PF} = -\frac{9}{4} \vec{p} + \frac{3}{7} \vec{m}\), \(\overrightarrow{FM} = -\frac{3}{7} \vec{m} - \vec{p}\).

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил правила векторной алгебры и не перепутал направления векторов.

Читерский прием: Всегда проверяй знаки при работе с векторами, чтобы избежать ошибок в направлениях.