Точки M и K лежат соответственно на диагоналях AC и BD параллелограмма ABCD. Известно, что AM : CM = 2 : 3, BK : DK = 1 : 4. Векторы AB и AD соответственно равны a и b. Выразите вектор MK через a и b.

Положим A началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf b\), а \(\overrightarrow{AC}=\mathbf a+\mathbf b\) и \(\overrightarrow{BD}=\mathbf b-\mathbf a\).

1. Из \(AM:CM=2:3\) следует, что M делит AC в отношении 2:3, поэтому \(\overrightarrow{AM}=\frac25(\mathbf a+\mathbf b)\).
2. Из \(BK:DK=1:4\) следует, что K находится на одной пятой пути от B к D: \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\frac15\overrightarrow{BD}=\mathbf a+\frac15(\mathbf b-\mathbf a)=\frac45\mathbf a+\frac15\mathbf b\).
3. Тогда \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac45-\frac25\right)\mathbf a+\left(\frac15-\frac25\right)\mathbf b\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=\frac25\mathbf a-\frac15\mathbf b\).