Точки M и K принадлежат соответственно рёбрам CC₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 6, C₁M : MC = 1 : 2, D₁K = KD. Прямая MK пересекает плоскость ABC в точке N. Найдите длину отрезка NB.

Введём координаты: A(0; 0; 0), D(6; 0; 0), B(0; 6; 0), C(6; 6; 0); вертикальная координата направлена вверх.

Так как C₁M : MC = 1 : 2 и CC₁ = 6, получаем MC = 4, поэтому M(6; 6; 4). Точка K — середина DD₁, значит K(6; 0; 3).

Запишем прямую MK в параметрическом виде: (x; y; z) = (6; 0; 3) + t(0; 6; 1). Плоскость ABC задаётся условием z = 0, откуда 3 + t = 0 и t = −3. Следовательно, N(6; −18; 0).

Тогда NB = √((6 − 0)² + (−18 − 6)²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17.

Ответ: 6√17.