Точки M и K — середины рёбер A₁D₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6. Прямая MK пересекает плоскость ABC в точке L. Найдите длину отрезка LB.

Введём координаты: пусть A(0; 0; 0), D(6; 0; 0), B(0; 6; 0), а вертикальная ось направлена к верхним вершинам. Тогда A₁(0; 0; 6), D₁(6; 0; 6).

Так как M и K — середины указанных рёбер, получаем M(3; 0; 6) и K(6; 0; 3).

Направляющий вектор прямой MK равен (3; 0; −3), поэтому её точки имеют вид (3 + 3t; 0; 6 − 3t). Плоскость ABC задаётся условием z = 0. Тогда 6 − 3t = 0, откуда t = 2, и L(9; 0; 0).

Вычислим расстояние от L до B(0; 6; 0): \(LB=\sqrt{(9-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\).

Ответ: \(3\sqrt{13}\).