Точки M и N — середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD соответственно. Докажите, используя векторы, что: MN = (AD + BC) / 2

Решение:

Пусть O — произвольная точка. Тогда векторы, исходящие из O, можно обозначить как \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\) для точек A, B, C, D соответственно.

Так как M — середина отрезка AB, то \(\vec{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\).

Так как N — середина отрезка CD, то \(\vec{ON} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}\).

Вектор \(\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{(\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b})}{2}\).

Заметим, что \(\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}\) и \(\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}\). Подставляя эти выражения, получаем:

\[ \vec{MN} = \frac{\vec{AD} + \vec{BC}}{2} \]

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.