Контрольные задания
Вопрос:

113 Точки M и P лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка O – середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

Фото задания: 113 Точки M и P лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка O –…Фото задания

Ответ:

Это задача по геометрии.

  1. Пункт a)

    2. Доказательство ∠OMP = ∠OPM:

    Рассмотрим четырехугольник MNPQ. Так как MN и PQ перпендикулярны прямой b и MN = PQ, то MNPQ - равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно, ∠MNQ = ∠PQN.

    Так как точка O - середина NQ, то MO и PO являются медианами в треугольниках MNQ и PQN соответственно. В равнобедренной трапеции диагонали равны, следовательно, MQ = NP. Тогда треугольники MNO и PQN равны по двум сторонам (MN = PQ, NO = OQ) и углу между ними (∠MNQ = ∠PQN). Следовательно, MO = PO.

    Рассмотрим треугольник MOP. Так как MO = PO, то треугольник MOP - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠OMP = ∠OPM. Что и требовалось доказать.

  2. Пункт б)

    3. Найдем ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

    Так как MN и PQ перпендикулярны прямой b, то ∠MNO = ∠PQO = 90°.

    Рассмотрим треугольники MNO и PQO. Так как MN = PQ и NO = OQ, а также ∠MNO = ∠PQO = 90°, то треугольники MNO и PQO равны по двум катетам. Следовательно, ∠MON = ∠POQ.

    Пусть ∠MON = ∠POQ = x. Тогда ∠NOM = 180° - ∠MON - ∠POQ - ∠MOP = 180° - x - x - 105° = 75° - 2x.

    Так как треугольники MNO и PQO равны, то ∠NMO = ∠QPO. Обозначим эти углы как y. В треугольнике MNO: ∠MON + ∠NMO + ∠MNO = 180°, то есть x + y + 90° = 180°, откуда x + y = 90°, следовательно, y = 90° - x.

    В треугольнике MOP: ∠OMP + ∠OPM + ∠MOP = 180°. Так как ∠OMP = ∠OPM, то 2∠OMP + 105° = 180°, откуда 2∠OMP = 75°, и ∠OMP = 37,5°.

    ∠NMP = ∠NMO + ∠OMP = y + 37,5° = 90° - x + 37,5° = 127,5° - x.

    Так как MNPQ - равнобедренная трапеция, то ∠NMP = ∠MOP = 127,5° - x.

    Тогда ∠NOM = ∠NOQ - ∠MOQ

    ∠NOM = 180° - (∠MON + ∠MOP) = 180° - (x + 105°) = 75° - x.

    В конечном итоге, недостаточно данных, чтобы найти точное значение угла NOM, так как не хватает информации о соотношении между углами. Если предположить, что точки N, O и M лежат на одной прямой, тогда ∠NOM = 180° - ∠MOP, то ∠NOM = 180° - 105° = 75°.

Ответ: недостаточно данных для точного определения ∠NOM.