Решение задачи 118

а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM

Рассмотрим прямоугольные треугольники MNO и PQO. Из условия известно, что MN = PQ и NO = OQ (так как O — середина NQ). Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников). Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠MNO = ∠PQO.

Так как углы ∠MNO и ∠PQO равны, а MN и PQ перпендикулярны прямой b, то углы ∠MNO и ∠PQO прямые и равны 90°. Значит, ∠MNO = ∠PQO = 90°. Углы ∠MON и ∠POQ также равны, поскольку соответствуют равным треугольникам.

Рассмотрим треугольник MOP. Треугольники MNO и PQO равны, следовательно, MO = PO. Таким образом, треугольник MOP равнобедренный с основанием MP. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠OMP = ∠OPM.

б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

Из пункта а) мы знаем, что MO = PO. Значит, треугольник MOP — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике MOP углы при основании MP равны, то есть ∠OMP = ∠OPM. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$∠OMP + ∠OPM + ∠MOP = 180^{\circ}$$

Так как ∠OMP = ∠OPM, можем записать:

$$2 \cdot ∠OMP + ∠MOP = 180^{\circ}$$

Подставим известное значение ∠MOP = 105°:

$$2 \cdot ∠OMP + 105^{\circ} = 180^{\circ}$$ $$2 \cdot ∠OMP = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$$ $$∠OMP = \frac{75^{\circ}}{2} = 37.5^{\circ}$$

Теперь рассмотрим треугольник MNO, который является прямоугольным. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°:

$$∠NOM + ∠NMO = 90^{\circ}$$

∠NMO можно представить как сумму ∠OMP и ∠NMO, а так же ∠NMO = 90° - ∠NOM. Следовательно:

$$∠NOM = 90^{\circ} - ∠NMO$$

Из равенства треугольников MNO и PQO, ∠NMO = ∠OPQ. В прямоугольном треугольнике PQO, ∠OPQ + ∠POQ = 90°. Так как ∠POQ = ∠MON, то ∠OPQ = 90° - ∠MON.

Рассмотрим четырехугольник MNOP. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, ∠MNP + ∠MOP + ∠OPQ + ∠PNM = 360°. Так как ∠MNP = ∠OPQ = 90°, то 90° + 105° + ∠MON + 90° = 360°, ∠MON = 360° - 90° - 105° - 90° = 75°.

Теперь мы можем найти ∠NOM = 90° - 75° = 15°.

Ответ: а) Доказано, что ∠OMP = ∠OPM; б) ∠NOM = 15°.