Точки МиК делят стороны АВ и ВС треугольника АВС в отношении 3:4 и 5:2 соответственно, считая от их общей вершины В. Медиана BL треугольника АВС пересекает отрезок МК в точке Р. Найдите MP :PK.

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти отношение MP : PK. Для решения этой задачи удобно воспользоваться теоремой Менелая или теоремой Чевы, а также свойствами медианы треугольника. Но поскольку это задача для школьников, применим более простой подход, используя подобие треугольников и свойства пропорциональных отрезков.

1. Поймем условие:
• Точки M и K делят стороны AB и BC в отношениях 3:4 и 5:2 соответственно. Это означает, что AM/MB = 3/4 и BK/KC = 5/2.
• BL — медиана треугольника ABC, значит, AL = LC.
• Отрезок MK пересекает медиану BL в точке P, и нам нужно найти отношение MP/PK.
2. Введем обозначения:
• Пусть AB = 7x (3x + 4x) и BC = 7y (5y + 2y). Тогда AM = 3x, MB = 4x, BK = 5y, KC = 2y.
3. Рассмотрим треугольники и подобие:
• Проведем через точку C прямую, параллельную MK, и пусть она пересекает продолжение медианы BL в точке Q.
• Рассмотрим треугольники MPB и CQB. Угол MBP = угол QCB (как внутренние накрест лежащие при параллельных MK и CQ и секущей BC). Угол MPB = угол CQB (как соответственные при параллельных MK и CQ и секущей BL). Следовательно, треугольники MPB и CQB подобны по двум углам.
• Из подобия треугольников MPB и CQB следует соотношение: MP/CQ = MB/BC = (4x) / (7y)
4. Подобие треугольников MPL и LQC:
• Треугольники MPL и LQC подобны (угол MPL = углу CQL как вертикальные, угол MLT = углу QCL как внутренние накрест лежащие при параллельных MK и CQ и секущей AC).
• Из подобия треугольников MPL и LQC следует, что MP/CQ = AL/LC = 1 (так как AL = LC, потому что BL - медиана).
5. Найдем отношение MP/PK:
• Пусть MP = a и PK = b, тогда MP/MK = a / (a + b). Из подобия следует, что MP/CQ = a/CQ = MB/BC = 4x/7y, и так как MP/CQ = 1, то CQ = a = 4x/7y.
• Знаем, что треугольники MPB и CQB подобны, значит, имеем MP/CQ = BK/KC = 5y/2y = 5/2.
• Следовательно, MP/PK = 5/2.
6. Уточним:
• MP/CQ = MB/BC => MP/CQ = (3/7) / (4/7) = 3/4. Это и есть искомое отношение.

Предположим, что MP:PK = 3:2. Проверим, так ли это:

Если MP = 3, а PK = 2, то MP/MK = 3/(3+2) = 3/5.

Ответ: 2