Точки P и K — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Выразите векторы BP, KC, PK, BK через векторы a = AP и b = AK.

Так как P и K — середины сторон, имеем \(\overrightarrow{AB}=2\vec a\) и \(\overrightarrow{AC}=2\vec b\).

1. \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}=-2\vec a+\vec a=-\vec a\).
2. \(\overrightarrow{KC}=\frac12\overrightarrow{AC}=\vec b\).
3. \(\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AK}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a\).
4. \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-2\vec a+\vec b=\vec b-2\vec a\).

Ответ: \(\overrightarrow{BP}=-\vec a\), \(\overrightarrow{KC}=\vec b\), \(\overrightarrow{PK}=\vec b-\vec a\), \(\overrightarrow{BK}=\vec b-2\vec a\).