Точки пересечения прямой и окружности В окружности с центром в точке 0(-3; 15) проведён радиус ОК. Найдите точки пересечения прямой ОК с окружностью, если К (2;3). Выберите верные варианты ответа.

Решение

Давай решим эту задачу по шагам.

1. Найдём уравнение прямой OK:

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно записать как:

\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]

В нашем случае O(-3, 15) и K(2, 3). Подставляем эти значения:

\[\frac{y - 15}{3 - 15} = \frac{x - (-3)}{2 - (-3)}\] \[\frac{y - 15}{-12} = \frac{x + 3}{5}\]

Преобразуем уравнение:

\[5(y - 15) = -12(x + 3)\] \[5y - 75 = -12x - 36\] \[12x + 5y - 39 = 0\]

Выразим y через x:

\[5y = -12x + 39\] \[y = -\frac{12}{5}x + \frac{39}{5}\]

2. Найдём уравнение окружности:

Уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом R имеет вид:

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\]

В нашем случае центр O(-3, 15). Радиус равен расстоянию OK:

\[R = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - 15)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Тогда уравнение окружности:

\[(x + 3)^2 + (y - 15)^2 = 13^2\] \[(x + 3)^2 + (y - 15)^2 = 169\]

3. Найдём точки пересечения:

Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[(x + 3)^2 + (-\frac{12}{5}x + \frac{39}{5} - 15)^2 = 169\] \[(x + 3)^2 + (-\frac{12}{5}x - \frac{36}{5})^2 = 169\] \[(x + 3)^2 + (\frac{-12x - 36}{5})^2 = 169\] \[(x + 3)^2 + \frac{144(x + 3)^2}{25} = 169\] \[25(x + 3)^2 + 144(x + 3)^2 = 169 \cdot 25\] \[169(x + 3)^2 = 169 \cdot 25\] \[(x + 3)^2 = 25\]

Отсюда два случая:

a) x + 3 = 5, тогда x = 2

b) x + 3 = -5, тогда x = -8

Подставляем значения x в уравнение прямой:

a) x = 2:

\[y = -\frac{12}{5}(2) + \frac{39}{5} = \frac{-24 + 39}{5} = \frac{15}{5} = 3\]

b) x = -8:

\[y = -\frac{12}{5}(-8) + \frac{39}{5} = \frac{96 + 39}{5} = \frac{135}{5} = 27\]

Итак, точки пересечения: (2, 3) и (-8, 27).

Ответ: (2; 3), (-8;27)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!