Толя подключил к батарейке красную лампочку и посмотрел, как она горит. После этого Толя подключил последовательно с этой красной лампой три синие лампочки и две жёлтые, обладающие таким же сопротивлением, как и красная, и обнаружил, что красная лампочка стала гореть менее ярко. Толя предположил, что сопротивление каждой лампочки является постоянным. Во сколько раз уменьшилась мощность, выделяющаяся в красной лампочке, если предположение Толи справедливо?

Пусть сопротивление каждой лампочки равно $$R$$. В первом случае, когда горит только красная лампочка, общая цепь состоит только из этой лампочки. Тогда общее сопротивление цепи равно $$R$$. Во втором случае, когда к красной лампочке последовательно подключены три синие и две жёлтые лампочки, общее сопротивление цепи становится равным $$R + 3R + 2R = 6R$$. Так как лампочки подключены последовательно, ток в цепи одинаков для всех лампочек. В первом случае ток $$I_1$$ равен: $$I_1 = \frac{U}{R}$$, где $$U$$ - напряжение батарейки. Во втором случае ток $$I_2$$ равен: $$I_2 = \frac{U}{6R}$$. Мощность, выделяющаяся на красной лампочке, равна $$P = I^2 R$$. В первом случае мощность $$P_1$$ равна: $$P_1 = I_1^2 R = (\frac{U}{R})^2 R = \frac{U^2}{R}$$. Во втором случае мощность $$P_2$$ равна: $$P_2 = I_2^2 R = (\frac{U}{6R})^2 R = \frac{U^2}{36R}$$. Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась мощность, нужно разделить $$P_1$$ на $$P_2$$: $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{U^2}{R}}{\frac{U^2}{36R}} = \frac{U^2}{R} \cdot \frac{36R}{U^2} = 36$$. Таким образом, мощность, выделяющаяся на красной лампочке, уменьшилась в 36 раз.