17) Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите.

Решение: Пусть $$a$$ и $$b$$ – задуманные числа, где $$a > b$$. Из условия задачи известно, что: 1. $$a + b = 23$$ 2. $$7 < a - b < 11$$ Выразим $$a$$ через $$b$$ из первого уравнения: $$a = 23 - b$$. Подставим это выражение во второе неравенство: $$7 < (23 - b) - b < 11$$ $$7 < 23 - 2b < 11$$ Вычтем 23 из всех частей неравенства: $$7 - 23 < -2b < 11 - 23$$ $$-16 < -2b < -12$$ Разделим все части неравенства на -2 (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные): $$8 > b > 6$$ Так как $$b$$ – натуральное число, то $$b$$ может быть равно 7. Если $$b = 7$$, то $$a = 23 - b = 23 - 7 = 16$$. Проверим, удовлетворяют ли числа $$a = 16$$ и $$b = 7$$ условиям задачи: 1. $$a + b = 16 + 7 = 23$$ (верно) 2. $$a - b = 16 - 7 = 9$$ (верно, так как $$7 < 9 < 11$$) Ответ: Толя задумал числа **16 и 7**.