Товарному поезду до города необходимо проехать 60 км. Отправление поезда задержалось на 1 ч. Чтобы приехать в город вовремя, скорость поезда увеличили на 3 км/ч. Какой должна была быть первоначально запланированная скорость поезда?

Решение:

Пусть \( v \) — первоначальная скорость поезда (в км/ч), а \( t \) — запланированное время в пути (в часах).

Расстояние \( S = 60 \) км.

Из условия задачи мы знаем:

1. \( S = v \cdot t \)
2. \( S = (v + 3) \cdot (t - 1) \)

Из первого уравнения выразим \( t = \frac{60}{v} \).

Подставим \( t \) во второе уравнение:

\( 60 = (v + 3) \cdot (\frac{60}{v} - 1) \)

Раскроем скобки:

\( 60 = v \cdot \frac{60}{v} - v \cdot 1 + 3 \cdot \frac{60}{v} - 3 \cdot 1 \)

\( 60 = 60 - v + \frac{180}{v} - 3 \)

Вычтем 60 из обеих частей уравнения:

\( 0 = - v + \frac{180}{v} - 3 \)

Умножим всё уравнение на \( v \) (при условии \( v \neq 0 \)):

\( 0 = -v^2 + 180 - 3v \)

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( v^2 + 3v - 180 = 0 \)

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \)

Найдем корни уравнения:

\( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \)

\( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень \( v_2 = -15 \) не подходит.

Таким образом, первоначальная запланированная скорость поезда была 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.