Тракторист должен был за определённое время вспахать поле площадью 180 га. Однако ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

Решение:

1. Обозначим переменные:

   Пусть $$x$$ — запланированное количество дней на вспашку поля.

   Пусть $$y$$ — запланированная дневная норма вспашки (га/день).

2. Составим уравнения на основе условия:

   Общая площадь поля: $$xy = 180$$.

   Фактически тракторист вспахивал $$y+2$$ га в день.

   Фактически он работал $$x-1$$ день.

   Следовательно: $$(x-1)(y+2) = 180$$.

3. Выразим $$y$$ из первого уравнения:

   $$y = \frac{180}{x}$$.

4. Подставим $$y$$ во второе уравнение:

   $$(x-1)(\frac{180}{x}+2) = 180$$.

5. Решим полученное уравнение:

   $$x \times (\frac{180}{x}+2) - 1 \times (\frac{180}{x}+2) = 180$$.

   $$180 + 2x - \frac{180}{x} - 2 = 180$$.

   $$2x - \frac{180}{x} - 2 = 0$$.

   Умножим обе части на $$x$$ (при $$x \neq 0$$):

   $$2x^2 - 180 - 2x = 0$$.

   Разделим на 2:

   $$x^2 - x - 90 = 0$$.

6. Найдем корни квадратного уравнения:

   Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4(1)(-90) = 1 + 360 = 361$$.

   $$x = \frac{-(-1) ± √{361}}{2(1)} = \frac{1 ± 19}{2}$$.

   $$x_1 = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.

   $$x_2 = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$.

7. Выберем подходящий корень:

   Количество дней не может быть отрицательным, поэтому $$x = 10$$.

8. Найдем фактическое количество дней работы:

   Фактическое время работы: $$x-1 = 10-1 = 9$$ дней.

Ответ: Тракторист вспахал поле за 9 дней.