трапеции, описанной около окружности Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ee меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 18 см. Найдите радиус описанной окружности. Ответ:__________ см.

Пошаговое решение:

• Обозначим меньшее основание трапеции как \( a \), большее основание как \( b \), боковую сторону как \( c \), высоту как \( h \), а радиус описанной окружности как \( R \).
• Из условия задачи известно, что \( b = 18 \) см и \( c = a \).
• Поскольку трапеция равнобедренная, высота, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых равен \( \frac{b - a}{2} \).
• Угол при основании равен 60°, поэтому можно записать: \( \cos(60^\circ) = \frac{\frac{b - a}{2}}{c} = \frac{b - a}{2a} \).
• Так как \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{2} = \frac{18 - a}{2a} \).
• Решаем уравнение: \( a = 18 - a \), отсюда \( 2a = 18 \), и \( a = 9 \) см.
• Высота трапеции: \( h = c \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) см.
• Так как в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: \( a + b = 2c \), или \( a + b = 2a \). Значит, \( b = a \), что не соответствует условию задачи.
• В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. В нашем случае: \( a + b = c + c \), где \( c = a \). Подставляем известные значения: \( a + 18 = a + a \), откуда \( a = 18 \). Это противоречит условию, что боковая сторона равна меньшему основанию.
• Найдем радиус описанной окружности. Так как угол при основании 60°, а боковая сторона равна меньшему основанию, то трапеция состоит из трех равных сторон: \( a = c = 9 \). Тогда высота трапеции: \( h = a \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \). Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \( R = \frac{h}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \).

Ответ: \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \) см.