Трапеция ABCD, в которой ∠A = 90°, ∠BCA = 45°, ∠ACD = 90°, AC = a. Найдите величину |CB − CA + CD|.

Используем обычное для рисунка обозначение трапеции: \(BC\parallel AD\). Возьмём координаты \(A=(0,0)\), направим ось \(x\) вдоль \(AD\), а ось \(y\) — вдоль \(AB\).

Так как \(\angle A=90^\circ\), треугольник \(ABC\) прямоугольный при \(B\). Условие \(\angle BCA=45^\circ\) даёт равенство его катетов: \(AB=BC\). При гипотенузе \(AC=a\) получаем \(AB=BC=a/\sqrt2\). Поэтому можно взять \(B=(0,a/\sqrt2)\), \(C=(a/\sqrt2,a/\sqrt2)\).

Из \(\angle ACD=90^\circ\) следует \(AC\perp CD\). Поскольку \(AC\) имеет направление \((1,1)\), а \(D\) лежит на прямой \(AD\), получаем \(D=(\sqrt2a,0)\).

Теперь \(\overrightarrow{CB}=(-a/\sqrt2,0)\), \(\overrightarrow{CA}=(-a/\sqrt2,-a/\sqrt2)\), \(\overrightarrow{CD}=(a/\sqrt2,-a/\sqrt2)\). Значит, \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}=(-a/\sqrt2,-\sqrt2a)\).

Длина этого вектора равна \(\sqrt{a^2/2+2a^2}=a\sqrt{5/2}\).

Ответ: \(\frac{a\sqrt{10}}{2}\).