Требуется вычислить интеграл: \( \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx \)

Решение:

Для вычисления данного интеграла мы воспользуемся формулой для интеграла от функции \( \frac{1}{1+x^2} \).

Известно, что \( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя пределы интегрирования от \( 0 \) до \( \sqrt{3} \):

\[ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = \left[ \arctan(x) \right]_{0}^{\sqrt{3}} \]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[ \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(0) \]

Мы знаем, что \( \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \) и \( \arctan(0) = 0 \).

Следовательно:

\[ \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3} \]

Таким образом, значение интеграла равно \( \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{3} \).