Тренажер по теме: «Углы в окружности». Используя теоремы, ранее изученные на уроках геометрии, найдите неизвестные углы (обозначены буквами х, у, z). В ответ впишите их градусную меру.

Решение:

1. 1. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Угол \( x \) — вписанный и опирается на дугу, центральный угол которой равен 118°. Значит, дуга равна 118°. Тогда \( x = \frac{118^{\circ}}{2} = 59^{\circ} \).
2. 2. Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу 62°. Тогда \( x = \frac{62^{\circ}}{2} = 31^{\circ} \).
3. 3. Угол \( z \) — вписанный, опирается на дугу, которая равна 24°. Значит, \( z = \frac{24^{\circ}}{2} = 12^{\circ} \). Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу \( 12^{\circ} + 24^{\circ} = 36^{\circ} \) (поскольку два угла по 12° указывают на одну дугу, а 24° - на другую, суммарно они образуют больший угол). То есть \( x = \frac{36^{\circ}}{2} = 18^{\circ} \).
4. 4. Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу 49°. Значит, \( x = \frac{49^{\circ}}{2} = 24.5^{\circ} \).
5. 5. Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу 43°. Значит, \( x = \frac{43^{\circ}}{2} = 21.5^{\circ} \).
6. 6. Центральный угол равен 116°. Угол \( x \) — вписанный, опирается на ту же дугу, что и центральный угол. Значит, \( x = \frac{116^{\circ}}{2} = 58^{\circ} \).
7. 7. Угол \( z \) опирается на дугу 67°, значит \( z = \frac{67^{\circ}}{2} = 33.5^{\circ} \). Угол \( x \) опирается на дугу 81°, значит \( x = \frac{81^{\circ}}{2} = 40.5^{\circ} \).
8. 8. Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу 142°. Значит, \( x = \frac{142^{\circ}}{2} = 71^{\circ} \).
9. 9. Центральный угол равен 232°. Угол \( x \) — вписанный, опирается на меньшую дугу. Величина меньшей дуги равна \( 360^{\circ} - 232^{\circ} = 128^{\circ} \). Значит, \( x = \frac{128^{\circ}}{2} = 64^{\circ} \).
10. 10. Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу 76°. Значит, \( x = \frac{76^{\circ}}{2} = 38^{\circ} \).
11. 11. Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу 122°. Значит, \( x = \frac{122^{\circ}}{2} = 61^{\circ} \).
12. 12. Угол \( y \) — вписанный, опирается на дугу 44°. Значит, \( y = \frac{44^{\circ}}{2} = 22^{\circ} \). Угол \( x \) — вписанный, опирается на дугу, соответствующую центральному углу 25°. Значит, \( x = \frac{25^{\circ}}{2} = 12.5^{\circ} \).

Ответ: 1) x = 59°; 2) x = 31°; 3) z = 12°, x = 18°; 4) x = 24.5°; 5) x = 21.5°; 6) x = 58°; 7) z = 33.5°, x = 40.5°; 8) x = 71°; 9) x = 64°; 10) x = 38°; 11) x = 61°; 12) y = 22°, x = 12.5°.