Тренажёр № 4 Найти общий вид первообразных для функции. 1. y = 6x³ x² - 3x², 2. y = 12(x²)³ + 4, 3. y = 4x+5: xn+4, 4. y = 3xn-2.xn+4, و 5. y = 4 - 8xxn-3, 2 6. y = x + 9x², 7. y = (4x + 14x²) : x 8. y = (4x³ + 12x²): 4x², 9. y = (x² - 4) : (x + 2), 4 10. y = (x² + 2x² + 1) : (x² + 1)

Ответ: смотри решение ниже

1. y = 6x³ - x² - 3x² = 6x³ - 4x²

   Первообразная:

   \[\int (6x^3 - 4x^2) dx = 6 \int x^3 dx - 4 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^4}{4} - 4 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{3}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + C\]

2. y = 12(x²)³ + 4 = 12x⁶ + 4

   Первообразная:

   \[\int (12x^6 + 4) dx = 12 \int x^6 dx + 4 \int dx = 12 \cdot \frac{x^7}{7} + 4x + C = \frac{12}{7}x^7 + 4x + C\]

3. y = 4xⁿ⁺⁵ : xⁿ⁺⁴ = 4x

   Первообразная:

   \[\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C\]

4. y = 3x^n-2 ⋅ xⁿ⁺⁴ = 3x²ⁿ⁺²

   Первообразная:

   \[\int 3x^{2n+2} dx = 3 \int x^{2n+2} dx = 3 \cdot \frac{x^{2n+3}}{2n+3} + C = \frac{3x^{2n+3}}{2n+3} + C\]

5. y = 4 - 8xⁿ ⋅ x^n-3 = 4 - 8x^2n-3

   Первообразная:

   \[\int (4 - 8x^{2n-3}) dx = 4 \int dx - 8 \int x^{2n-3} dx = 4x - 8 \cdot \frac{x^{2n-2}}{2n-2} + C = 4x - \frac{4x^{2n-2}}{n-1} + C\]

6. y = x + 9x²

   Первообразная:

   \[\int (x + 9x^2) dx = \int x dx + 9 \int x^2 dx = \frac{x^2}{2} + 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{1}{2}x^2 + 3x^3 + C\]

7. y = (4x + 14x²) : x = 4 + 14x

   Первообразная:

   \[\int (4 + 14x) dx = 4 \int dx + 14 \int x dx = 4x + 14 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 4x + 7x^2 + C\]

8. y = (4x³ + 12x²) : 4x² = x + 3

   Первообразная:

   \[\int (x + 3) dx = \int x dx + 3 \int dx = \frac{x^2}{2} + 3x + C\]

9. y = (x² - 4) : (x + 2) = (x - 2)(x + 2) : (x + 2) = x - 2

   Первообразная:

   \[\int (x - 2) dx = \int x dx - 2 \int dx = \frac{x^2}{2} - 2x + C\]

10. y = (x⁴ + 2x² + 1) : (x² + 1) = (x² + 1)² : (x² + 1) = x² + 1

    Первообразная:

    \[\int (x^2 + 1) dx = \int x^2 dx + \int dx = \frac{x^3}{3} + x + C\]

Ответ: смотри решение выше