Тренажёр № 5. Найти общий вид первообразных для функции.

Решение:

Чтобы найти общий вид первообразных, нужно проинтегрировать каждую функцию.

1. \( y = \sin x \) \(\Rightarrow\) \( Y = -\cos x + C \)
2. \( y = 2\sin x \) \(\Rightarrow\) \( Y = -2\cos x + C \)
3. \( y = \sin x - 5x \) \(\Rightarrow\) \( Y = -\cos x - \frac{5x^2}{2} + C \)
4. \( y = \sin x + 6x^2 \) \(\Rightarrow\) \( Y = -\cos x + \frac{6x^3}{3} + C = -\cos x + 2x^3 + C \)
5. \( y = 8\sin x - 9x^2 \) \(\Rightarrow\) \( Y = -8\cos x - \frac{9x^3}{3} + C = -8\cos x - 3x^3 + C \)
6. \( y = \cos x + 9\sin x \) \(\Rightarrow\) \( Y = \sin x - 9\cos x + C \)
7. \( y = \sin x - 2\cos x \) \(\Rightarrow\) \( Y = -\cos x - 2\sin x + C \)
8. \( y = 4\cos x - 8x \) \(\Rightarrow\) \( Y = 4\sin x - \frac{8x^2}{2} + C = 4\sin x - 4x^2 + C \)
9. \( y = 0,5\sin x + 2\cos x \) \(\Rightarrow\) \( Y = -0,5\cos x + 2\sin x + C \)
10. \( y = \sin 0,5\pi - \cos 0,25\pi \) — это константа. \( y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) \(\Rightarrow\) \( Y = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)x + C \)

Ответ: 1. \( -\cos x + C \) 2. \( -2\cos x + C \) 3. \( -\cos x - \frac{5x^2}{2} + C \) 4. \( -\cos x + 2x^3 + C \) 5. \( -8\cos x - 3x^3 + C \) 6. \( \sin x - 9\cos x + C \) 7. \( -\cos x - 2\sin x + C \) 8. \( 4\sin x - 4x^2 + C \) 9. \( -0,5\cos x + 2\sin x + C \) 10. \( \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)x + C \)