Тренировочная работа № 8

14.

Пусть (h_n) - высота после (n)-го отскока. Тогда (h_1 = 560) см, и каждый следующий отскок в два раза меньше предыдущего, то есть (h_{n+1} = rac{h_n}{2}). Нужно найти такое (n), что (h_n < 20).

Высота после первого отскока: (h_1 = 560).

Высота после второго отскока: (h_2 = rac{560}{2} = 280).

Высота после третьего отскока: (h_3 = rac{280}{2} = 140).

Высота после четвертого отскока: (h_4 = rac{140}{2} = 70).

Высота после пятого отскока: (h_5 = rac{70}{2} = 35).

Высота после шестого отскока: (h_6 = rac{35}{2} = 17.5).

Так как (17.5 < 20), то после 6-го отскока высота станет меньше 20 см.

Ответ: 6 15.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $$\cos B = \frac{11}{15}$$, AB = 75. Найдите BC.

В прямоугольном треугольнике ABC, $$\cos B = \frac{BC}{AB}$$.

Тогда $$\frac{11}{15} = \frac{BC}{75}$$.

Отсюда, (BC = \frac{11}{15} \cdot 75 = 11 \cdot 5 = 55).

Ответ: 55 16.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $$22\sqrt{2}$$. Найдите диагональ этого квадрата.

Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата. Следовательно, сторона квадрата равна $$2r = 2 \cdot 22\sqrt{2} = 44\sqrt{2}$$.

Диагональ квадрата можно найти по формуле $$d = a\sqrt{2}$$, где a - сторона квадрата.

Тогда диагональ квадрата равна $$d = 44\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 44 \cdot 2 = 88$$.

Ответ: 88 17.

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD = 5, BC = 3, $$\angle A = 45^\circ$$. Опустим высоты BH и CK на основание AD. Тогда AН = KD = $$\frac{AD - BC}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$.

Рассмотрим треугольник ABH: $$\angle A = 45^\circ$$, значит, $$\angle ABH = 45^\circ$$, и треугольник ABH равнобедренный, то есть BH = AH = 1.

Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{3 + 5}{2} \cdot 1 = 4 \cdot 1 = 4$$.

Ответ: 4 18.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Длина большего катета равна 4 клеткам. Так как размер клетки 1 х 1, то длина большего катета равна 4.

Ответ: 4 19.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

2) Любые два равносторонних треугольника подобны.

3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Утверждение 1 неверно, так как через заданную точку можно провести бесконечно много прямых.

Утверждение 2 верно, так как у равностороннего треугольника все углы равны 60 градусам, а значит, два равносторонних треугольника всегда подобны по трем углам.

Утверждение 3 верно, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол, опирающийся на диаметр, равен 180 градусам, следовательно, вписанный угол равен 90 градусам.

Ответ: 23