3. Треугольник ABC задан координатами своих вершин А(0; -4), B(-3; 5), C(-1; -3). а) Найдите градусную меру острого угла между медианой AD и стороной AC. б) Вычислите АВ. BC + AB. CẢ.

a) Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем координаты точки D, середины стороны BC:

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка:

$$D = (\frac{B_x + C_x}{2}; \frac{B_y + C_y}{2}) = (\frac{-3 + (-1)}{2}; \frac{5 + (-3)}{2}) = (\frac{-4}{2}; \frac{2}{2}) = (-2; 1)$$

2. Найдем координаты векторов AD и AC:

Координаты вектора вычисляются как разность координат конца и начала вектора:

$$AD = (D_x - A_x; D_y - A_y) = (-2 - 0; 1 - (-4)) = (-2; 5)$$ $$AC = (C_x - A_x; C_y - A_y) = (-1 - 0; -3 - (-4)) = (-1; 1)$$

3. Найдем косинус угла между векторами AD и AC:

Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:

$$cos(\alpha) = \frac{AD \cdot AC}{|AD| \cdot |AC|} = \frac{AD_x \cdot AC_x + AD_y \cdot AC_y}{\sqrt{AD_x^2 + AD_y^2} \cdot \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2}}$$

Подставим координаты векторов AD и AC в формулу:

$$cos(\alpha) = \frac{(-2) \cdot (-1) + 5 \cdot 1}{\sqrt{(-2)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2}} = \frac{2 + 5}{\sqrt{4 + 25} \cdot \sqrt{1 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{58}}$$ $$cos(\alpha) = \frac{7}{\sqrt{58}} ≈ \frac{7}{7.616} ≈ 0.919$$

4. Найдем угол α:

Угол α равен арккосинусу найденного значения косинуса:

$$α = arccos(0.919) ≈ 23.2°$$

б) Для вычисления выражения AB⋅BC + AB⋅CA, сначала найдем координаты векторов AB, BC и CA:

$$AB = (B_x - A_x; B_y - A_y) = (-3 - 0; 5 - (-4)) = (-3; 9)$$ $$BC = (C_x - B_x; C_y - B_y) = (-1 - (-3); -3 - 5) = (2; -8)$$ $$CA = (A_x - C_x; A_y - C_y) = (0 - (-1); -4 - (-3)) = (1; -1)$$

Далее, найдем скалярные произведения AB⋅BC и AB⋅CA:

$$AB \cdot BC = AB_x \cdot BC_x + AB_y \cdot BC_y = (-3) \cdot 2 + 9 \cdot (-8) = -6 - 72 = -78$$ $$AB \cdot CA = AB_x \cdot CA_x + AB_y \cdot CA_y = (-3) \cdot 1 + 9 \cdot (-1) = -3 - 9 = -12$$

Теперь сложим полученные скалярные произведения:

$$AB \cdot BC + AB \cdot CA = -78 + (-12) = -90$$

Ответ: a) ≈ 23.2°; б) -90