5. Треугольник ACB: LC = 90°, AC = CB = 3 см. Треугольник АМС имеет общую сторону АС с треугольником ACB, AM = CM = √6 см. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. 1) Докажите, что МС І ВС 2) Найдите угол между МВ и плоскостью АВС

1) Докажем, что MC ⊥ BC

Так как плоскости треугольников AMC и ACB взаимно перпендикулярны, а AC является их общей стороной, то прямая, перпендикулярная AC в одной плоскости, будет перпендикулярна и другой плоскости.

Рассмотрим треугольник AMC. Дано, что AM = CM = √6 см, значит, треугольник AMC равнобедренный. Пусть O - середина AC. Тогда MO - медиана и высота треугольника AMC, следовательно, MO ⊥ AC. Так как AC = 3 см, то AO = OC = 1.5 см.

Найдем MO из прямоугольного треугольника AMO:

$$MO = \sqrt{AM^2 - AO^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - (1.5)^2} = \sqrt{6 - 2.25} = \sqrt{3.75} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2} \text{ см}$$

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный и равнобедренный (AC = CB = 3 см). ∠ACB = 90°.

Рассмотрим треугольник MOC. MO ⊥ (ABC), OC лежит в плоскости ABC. Треугольник COB равнобедренный и прямоугольный, следовательно, ∠OCB = 45°.

Найдем MB, зная MC и CB. MC ⊥ (ABC), следовательно, MC ⊥ CB. Треугольник MCB прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$MB = \sqrt{MC^2 + CB^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 3^2} = \sqrt{6 + 9} = \sqrt{15} \text{ см}$$

Теперь докажем, что MC ⊥ BC. Рассмотрим проекцию MC на плоскость ABC, то есть OC. Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, AC ⊥ CB. MO ⊥ AC, следовательно, MO ⊥ CB (т.к. MO ⊥ (ABC)). Значит, MC ⊥ BC.

2) Найдем угол между MB и плоскостью ABC.

Угол между прямой MB и плоскостью ABC - это угол между прямой MB и ее проекцией на эту плоскость, то есть CB. ∠MBC - искомый угол. Из прямоугольного треугольника MCB:

$$\tan(\angle MBC) = \frac{MC}{CB} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ $$\angle MBC = \arctan(\frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 39.23^\circ$$

Ответ: 1) Доказано, 2) arctan(√6 / 3)