5. Треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС. На его биссектрисе BD взята точка М, а на основании точка К, причем, МК | АВ. Найдите углы треугольника MKD, если ДАВС = 126°, ∠BAC = 27°. 6. Докажите, что на рисунке прямые АВ и К№ парал- лельны, если треугольник АВК — равнобедренный с осно- ванием ВК, а луч КВ является биссектрисой угла АΚΝ.

Задача 5: Найти углы треугольника MKD.

Пошаговое решение:

1. Найдём угол BCA: Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, углы при основании равны. Значит, ∠BCA = ∠BAC = 27°.
2. Найдём угол CBD: BD - биссектриса угла ABC, следовательно, ∠CBD = ∠ABC / 2 = 126° / 2 = 63°.
3. Найдём угол BDC: В треугольнике BCD сумма углов равна 180°. ∠BDC = 180° - ∠BCA - ∠CBD = 180° - 27° - 63° = 90°.
4. Найдём угол MKD: Так как MK || AB, то треугольники CMK и CAB подобны. Следовательно, ∠MKD = ∠ABC = 126°.
5. Найдём угол KMD: Угол KMD является смежным с углом CMB. ∠CMB = 180° - ∠MBC - ∠MCB. ∠MBC = ∠ABC/2 = 63°, ∠MCB = ∠ACB = 27°. Следовательно, ∠CMB = 180° - 63° - 27° = 90°. Значит, ∠KMD = 180° - ∠CMB = 180° - 90° = 90°.
6. Найдём угол MDK: В треугольнике MKD сумма углов равна 180°. ∠MDK = 180° - ∠MKD - ∠KMD = 180° - 27° - 90° = 63°.

Ответ: ∠MKD = 27°, ∠KMD = 90°, ∠MDK = 63°.

Задача 6: Доказать параллельность прямых AB и KN.

Доказательство:

• Треугольник ABK - равнобедренный с основанием BK, значит ∠BAK = ∠BKA.
• KB - биссектриса угла AKN, значит ∠AKB = ∠BKN.
• Следовательно, ∠BKA = ∠BKN.
• Так как ∠BAK = ∠BKA и ∠BKA = ∠BKN, то ∠BAK = ∠BKN.
• Углы BAK и BKN - накрест лежащие при прямых AB и KN и секущей AK.
• Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, прямые AB и KN параллельны.