6. Треугольник АВС - равносторонний, AD и ВЕ – медианы, пересекающиеся в точке М. Докажите, что Δ АМЕ = Δ BMD.

Рассмотрим решение задачи:

1. Треугольник ABC – равносторонний, следовательно, все его стороны равны: АВ = ВС = АС.
2. AD и BE – медианы, а медиана делит сторону пополам. Следовательно, АЕ = 1/2 АС, a BD = 1/2 АВ. Так как АС = АВ, то АЕ = BD.
3. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Следовательно, ∠А = ∠В = 60°.
4. Медианы равностороннего треугольника, проведенные из вершин, являются также и биссектрисами, и высотами. Следовательно, ∠ЕАМ = ∠DBM.
5. Учитывая вышесказанное, треугольники АМЕ и BMD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): АЕ = BD, ∠ЕАМ = ∠DBM, ∠А = ∠В.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Δ АМЕ = Δ BMD