Треугольник АВС — прямоугольный, ∠A = 60° и ВА = 6 дм. Вычисли стороны треугольника и радиус R описанной около него окружности.

Решение:

В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром окружности. В данном случае, так как ∠B = 90° (по условию, треугольник прямоугольный, и AC является диаметром), то AC — гипотенуза.

1. Найдём радиус окружности (R):

Диаметр окружности равен гипотенузе AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

\( \cos A = \frac{AB}{AC} \)

\( \cos 60^{\circ} = \frac{6 \text{ дм}}{AC} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{6 \text{ дм}}{AC} \)

\( AC = 6 \text{ дм} \cdot 2 = 12 \text{ дм} \)

Диаметр равен 12 дм, значит, радиус \( R \) равен половине диаметра:

\( R = \frac{AC}{2} = \frac{12 \text{ дм}}{2} = 6 \text{ дм} \)

2. Найдём сторону BC:

Используем теорему Пифагора:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

\( 12^2 = 6^2 + BC^2 \)

\( 144 = 36 + BC^2 \)

\( BC^2 = 144 - 36 = 108 \)

\( BC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \text{ дм} \)

Проверка:

\( \tan A = \frac{BC}{AB} \)

\( \tan 60^{\circ} = \frac{BC}{6 \text{ дм}} \)

\( \sqrt{3} = \frac{BC}{6 \text{ дм}} \)

\( BC = 6\sqrt{3} \text{ дм} \)

Ответ: R = 6 дм; AC = 12 дм; BC = 6√3 дм.