Треугольник АВС вписан в окружность так, что АС — диаметр, вершина В лежит на окружности. Найдите отношение высоты ВН к катету АВ, если ВС = \frac{1}{2}AC. Закончите рисунок.

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Решение:

• Поскольку треугольник ABC вписан в окружность, и AC является диаметром, угол ABC равен 90 градусов.
• Дано, что BC = \(\frac{1}{2}AC\). Обозначим AC = 2x, тогда BC = x.
• По теореме Пифагора найдем AB:

\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{4x^2 - x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}\]

• Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x\sqrt{3} \cdot x = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}\)
2. \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot BH = x \cdot BH\)

• Приравняем оба выражения для площади:

\[x \cdot BH = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}\]

• Выразим BH:

\[BH = \frac{x^2\sqrt{3}}{2x} = \frac{x\sqrt{3}}{2}\]

• Найдем отношение высоты BH к катету AB:

\[\frac{BH}{AB} = \frac{\frac{x\sqrt{3}}{2}}{x\sqrt{3}} = \frac{x\sqrt{3}}{2x\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\]

Дополнительное решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, в котором BC = \(\frac{1}{2}AC\). Тогда угол BAC равен 30 градусам, а угол BCA равен 60 градусам.

Пусть AB = a, тогда BH можно найти из прямоугольного треугольника ABH: BH = AB * sin(30°) = a * \(\frac{1}{2}\)

Отношение BH к AB равно: \(\frac{BH}{AB} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{\sqrt{3}x} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)