Треугольник АВС является прямоугольным, точка М — середина гипотенузы АВ, N – середина катета ВС. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке L. а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны. 6) Найдите отношение площадей этих треугольников, если соз ∠ВАС = \frac{11}{61}. Ответ запишите с помощью двоеточия.

Решение:

1. Докажем, что треугольники AML и BLC подобны.

   Т.к. MN - средняя линия треугольника ABC, то MN || AC. Следовательно, углы ∠NMB и ∠CAB равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB.

   Так как AL - биссектриса угла BAC, то ∠MAL = \(\frac{1}{2}\) ∠BAC.

   ∠LCB = ∠ACB = 90° (т.к. ABC - прямоугольный).

   Треугольники AML и BLC подобны по двум углам (∠MAL = ∠LBC, ∠AML = ∠BCL = 90°).

2. Найдем отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = \(\frac{11}{61}\).

   Пусть AB = c, BC = a, AC = b.

   Т.к. M - середина AB, то AM = \(\frac{c}{2}\).

   Т.к. N - середина BC, то BN = \(\frac{a}{2}\).

   Из подобия треугольников AML и BLC следует, что \(\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = \left(\frac{AM}{BC}\right)^2 = \left(\frac{c}{2a}\right)^2 = \frac{c^2}{4a^2}\).

   Нам дано, что cos ∠BAC = \(\frac{11}{61}\).

   В прямоугольном треугольнике ABC cos ∠BAC = \(\frac{b}{c}\), следовательно, \(\frac{b}{c} = \frac{11}{61}\), откуда b = \(\frac{11c}{61}\).

   По теореме Пифагора, a² + b² = c².

   Подставим b = \(\frac{11c}{61}\) в уравнение a² + b² = c²:

   a² + \(\left(\frac{11c}{61}\right)^2 = c^2\)

   a² + \(\frac{121c^2}{3721} = c^2\)

   a² = c² - \(\frac{121c^2}{3721}\)

   a² = \(\frac{3721c^2 - 121c^2}{3721}\)

   a² = \(\frac{3600c^2}{3721}\)

   a = \(\frac{60c}{61}\)

   Тогда, \(\frac{c^2}{4a^2} = \frac{c^2}{4 \cdot \left(\frac{60c}{61}\right)^2} = \frac{c^2}{4 \cdot \frac{3600c^2}{3721}} = \frac{c^2}{\frac{14400c^2}{3721}} = \frac{3721}{14400} = \frac{61^2}{120^2} = \(\left(\frac{61}{120}\right)^2\)

3. Найдем отношение площадей этих треугольников.

   Т.к. \(\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = \frac{c^2}{4a^2}\) и \(\frac{b}{c} = \frac{11}{61}\), то \(\frac{c}{a} = \frac{61}{60}\).

   Тогда, \(\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = \frac{c^2}{4a^2} = \frac{61^2}{4 \cdot 60^2} = \frac{3721}{14400}\)

   Ответ запишите с помощью двоеточия.

   Т.к. \(\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = \frac{3721}{14400}\), то \(S_{AML} : S_{BLC} = 3721 : 14400\).

   Т.к. \(3721 = 61^2 = (5 \cdot 12 + 1)^2 = 25 \cdot 144 + 10 \cdot 12 + 1 = 3600 + 120 + 1 = 3721\), то \(S_{AML} : S_{BLC} = 25 : 61\).

Result Card (Benefit + Praise)

Grammar Ninja!

Уровень интеллекта: +50

⏱️ Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей