3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(1; 4), B(-3; 2), C(-1;-3). а) Найдите косинус острого угла между медиа- ной СМ и стороной АС. 6) Вычислите СМ - MẢ - MC AC.

Ответ: а) \(\frac{7}{\sqrt{650}}\); б) -30

Решение:

а) Найдем координаты точки M как середины отрезка AB: \[M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (-1, 3)\] Найдем координаты векторов \(\vec{CM}\) и \(\vec{AC}\): \[\vec{CM} = M - C = (-1 - (-1), 3 - (-3)) = (0, 6)\] \[\vec{AC} = C - A = (-1 - 1, -3 - 4) = (-2, -7)\] Найдем косинус угла между векторами \(\vec{CM}\) и \(\vec{AC}\): \[\cos(\angle(\vec{CM}, \vec{AC})) = \frac{\vec{CM} \cdot \vec{AC}}{|\vec{CM}| \cdot |\vec{AC}|}\] \[\vec{CM} \cdot \vec{AC} = (0 \cdot -2) + (6 \cdot -7) = -42\] \[|\vec{CM}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6\] \[|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}\] \[\cos(\angle(\vec{CM}, \vec{AC})) = \frac{-42}{6 \sqrt{53}} = \frac{-7}{\sqrt{53}}\] Так как нужен острый угол, берем абсолютное значение: \[\cos(\alpha) = \frac{7}{\sqrt{53}} = \frac{7\sqrt{53}}{53}\] б) Вычислим \(\vec{CM} \cdot \vec{MA} - \vec{MC} \cdot \vec{AC}\): \[\vec{MA} = A - M = (1 - (-1), 4 - 3) = (2, 1)\] \[\vec{MC} = C - M = (-1 - (-1), -3 - 3) = (0, -6)\] \[\vec{CM} \cdot \vec{MA} = (0 \cdot 2) + (6 \cdot 1) = 6\] \[\vec{MC} \cdot \vec{AC} = (0 \cdot -2) + (-6 \cdot -7) = 42\] \[\vec{CM} \cdot \vec{MA} - \vec{MC} \cdot \vec{AC} = 6 - 42 = -36\]

Ответ: а) \(\frac{7}{\sqrt{53}}\); б) -36