1. Треугольник КВТ и MNP подобны. Известно, что КВ = 8 см, КТ = 13см, МР = 26см. Найдите сторону МN. 2. Треугольники АВС и DEF подобны. Угол А равен углу D, угол C равен углу F, EF= 14, DF=20, BC=21. Найдите АС. 3. Площади двух подобных треугольников равны 12 см2 и 27 см². Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника. 4. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 3 см и 7 см. Площадь первого треугольника 18 см². Найдите площадь второго треугольника. 5. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Периметр первого треугольника 8 см. Найдите периметр второго треугольника. 6. Периметры двух подобных треугольников равны 8 см и 12 см. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

1. Трудная задача. Исходя из условия, нужно восстановить порядок вершин во втором треугольнике: КВТ ~ MNP.

Дано:

• ∆KBT ~ ∆MNP
• KB = 8 см
• KT = 13 см
• MP = 26 см

Найти: MN

Решение:

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, следовательно:

$$\frac{KB}{MN} = \frac{KT}{MP}$$, отсюда $$MN = \frac{KB \cdot MP}{KT}$$.

Подставим значения:

$$MN = \frac{8 \text{ см} \cdot 26 \text{ см}}{13 \text{ см}} = \frac{8 \cdot 26}{13} \text{ см} = 8 \cdot 2 \text{ см} = 16 \text{ см}$$.

Ответ: 16 см

---

2. Треугольники ABC и DEF подобны. Угол A равен углу D, угол C равен углу F, EF = 14, DF = 20, BC = 21. Найдите AC.

Дано:

• ∆ABC ~ ∆DEF
• ∠A = ∠D
• ∠C = ∠F
• EF = 14
• DF = 20
• BC = 21

Найти: AC

Решение:

Т.к. углы А и D, C и F равны, то соответственные стороны будут: ВС и EF, АС и DF.

Составим пропорцию:

$$\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$, отсюда $$AC = \frac{BC \cdot DF}{EF}$$.

Подставим значения:

$$AC = \frac{21 \cdot 20}{14} = \frac{21 \cdot 10}{7} = 3 \cdot 10 = 30$$.

Ответ: 30

---

3. Площади двух подобных треугольников равны 12 см² и 27 см². Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

Дано:

• S₁ = 12 см²
• S₂ = 27 см²
• a₁ = 4 см

Найти: a₂

Решение:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$.

Найдем коэффициент подобия:

$$k^2 = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$$, $$k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$.

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия: $$\frac{a_1}{a_2} = k$$, отсюда $$a_2 = \frac{a_1}{k}$$.

Подставим значения:

$$a_2 = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$$.

Ответ: 6 см

---

4. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 3 см и 7 см. Площадь первого треугольника 18 см². Найдите площадь второго треугольника.

Дано:

• a₁ = 3 см
• a₂ = 7 см
• S₁ = 18 см²

Найти: S₂

Решение:

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия: $$\frac{a_1}{a_2} = k$$, $$k = \frac{3}{7}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$, отсюда $$S_2 = \frac{S_1}{k^2}$$.

Подставим значения:

$$S_2 = \frac{18}{(\frac{3}{7})^2} = \frac{18}{\frac{9}{49}} = 18 \cdot \frac{49}{9} = 2 \cdot 49 = 98 \text{ см}^2$$.

Ответ: 98 см²

---

5. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Периметр первого треугольника 8 см. Найдите периметр второго треугольника.

Дано:

• a₁ = 2 см
• a₂ = 5 см
• P₁ = 8 см

Найти: P₂

Решение:

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия: $$\frac{a_1}{a_2} = k$$, $$k = \frac{2}{5}$$.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $$\frac{P_1}{P_2} = k$$, отсюда $$P_2 = \frac{P_1}{k}$$.

Подставим значения:

$$P_2 = \frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \cdot \frac{5}{2} = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}$$.

Ответ: 20 см

---

6. Периметры двух подобных треугольников равны 8 см и 12 см. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

Дано:

• P₁ = 8 см
• P₂ = 12 см
• a₁ = 2 см

Найти: a₂

Решение:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $$\frac{P_1}{P_2} = k$$, $$k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$.

Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия: $$\frac{a_1}{a_2} = k$$, отсюда $$a_2 = \frac{a_1}{k}$$.

Подставим значения:

$$a_2 = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 \text{ см}$$.

Ответ: 3 см