Треугольник MPK равнобедренный с основанием MK. Прямая n пересекает сторону PK в точке A и сторону MK – в точке B. Найти углы треугольника ABK, если угол P равен 72°, угол M равен 54° и AB параллельна MP.

Дано: Треугольник MPK – равнобедренный (MP = PK), MK – основание. Прямая n пересекает PK в точке A, MK – в точке B. $$ \angle P = 72^{\circ} $$, $$ \angle M = 54^{\circ} $$, AB || MP.

Найти: Углы треугольника ABK.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник MPK. Так как он равнобедренный с основанием MK, углы при основании равны, то есть $$ \angle M = \angle K = 54^{\circ} $$.

2. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, $$ \angle P + \angle M + \angle K = 180^{\circ} $$. Подставим известные значения: $$ 72^{\circ} + 54^{\circ} + 54^{\circ} = 180^{\circ} $$. Это подтверждает, что углы найдены верно.

3. Рассмотрим углы при параллельных прямых AB и MP и секущей MK. Так как AB || MP, то $$ \angle ABK = \angle M = 54^{\circ} $$, как соответственные углы.

4. Рассмотрим углы при параллельных прямых AB и MP и секущей PK. Так как AB || MP, то $$ \angle BAK = \angle P = 72^{\circ} $$, как соответственные углы.

5. Теперь рассмотрим треугольник ABK. Мы знаем два его угла: $$ \angle ABK = 54^{\circ} $$ и $$ \angle BAK = 72^{\circ} $$. Найдем третий угол AKB:

$$ \angle AKB = 180^{\circ} - (\angle ABK + \angle BAK) = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} $$.

Таким образом, углы треугольника ABK равны: $$ \angle ABK = 54^{\circ} $$, $$ \angle BAK = 72^{\circ} $$, $$ \angle AKB = 54^{\circ} $$.

Ответ: $$ \angle ABK = 54^{\circ} $$, $$ \angle BAK = 72^{\circ} $$, $$ \angle AKB = 54^{\circ} $$