3. Треугольник МПК задан координатами своих вершин: М(-3; -2), N(3; 1), K(3; -5). а) Докажите, что ДММК – равнобедренный. 6) Найдите высоту, проведенную из вершины М.

3. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-3; -2), N(3; 1), K(3; -5).

а) Докажите, что ΔMNK – равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник MNK равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Найдем длины сторон MN, NK и MK, используя формулу расстояния между двумя точками: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$.

1. Найдем длину стороны MN:

$$MN = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$$

2. Найдем длину стороны NK:

$$NK = \sqrt{(3 - 3)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6$$

3. Найдем длину стороны MK:

$$MK = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - (-2))^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-5 + 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$$

Так как MN = MK = $$\sqrt{45}$$, треугольник MNK – равнобедренный (с основанием NK).

б) Найдите высоту, проведенную из вершины M.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Поэтому высота, проведенная из вершины M, делит основание NK пополам. Найдем координаты середины основания NK, точки H, по формуле: $$H(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2})$$

$$H(\frac{3 + 3}{2}; \frac{1 + (-5)}{2}) = H(\frac{6}{2}; \frac{-4}{2}) = H(3; -2)$$

Теперь найдем длину высоты MH, используя формулу расстояния между двумя точками:

$$MH = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-2 + 2)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 0} = \sqrt{36} = 6$$

Таким образом, длина высоты, проведенной из вершины M, равна 6.

Ответ: а) ΔMNK – равнобедренный, т.к. MN = MK = $$\sqrt{45}$$; б) MH = 6.