Треугольник разрезали на параллелограмм и два треугольника, площади которых равны 9 и 49. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан треугольник, который разрезали на параллелограмм и два треугольника, площади которых равны 9 и 49. Нужно найти площадь параллелограмма.

Обозначим исходный треугольник как \(ABC\). После разрезания образовались треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) с площадями \(S_1 = 9\) и \(S_2 = 49\) соответственно, а также параллелограмм \(A_3B_3C_3D_3\).

Треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) подобны исходному треугольнику \(ABC\). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Обозначим коэффициент подобия треугольника с площадью 9 к исходному как \(k_1\), а треугольника с площадью 49 к исходному как \(k_2\).

Тогда:

$$\frac{S_1}{S} = k_1^2 \Rightarrow k_1 = \sqrt{\frac{S_1}{S}} = \sqrt{\frac{9}{S}} = \frac{3}{\sqrt{S}}$$ $$\frac{S_2}{S} = k_2^2 \Rightarrow k_2 = \sqrt{\frac{S_2}{S}} = \sqrt{\frac{49}{S}} = \frac{7}{\sqrt{S}}$$

Сумма коэффициентов подобия \(k_1 + k_2 = \frac{3}{\sqrt{S}} + \frac{7}{\sqrt{S}} = \frac{10}{\sqrt{S}}\).

Так как \(k_1 + k_2 = 1\) (т.к. стороны треугольников лежат на одной прямой), то:

$$\frac{10}{\sqrt{S}} = 1 \Rightarrow \sqrt{S} = 10 \Rightarrow S = 100$$

Площадь исходного треугольника равна 100.

Площадь параллелограмма равна разности площади исходного треугольника и площадей двух других треугольников:

$$S_{\text{параллелограмма}} = S - S_1 - S_2 = 100 - 9 - 49 = 42$$

Ответ: 42