3. Треугольник СВЕ задан координатами своих вершин: C(2; 2), D(6; 5), E(5; -2). а) Докажите, что ACDE - равнобедренный. б) Найдите биссектрису, проведенную из вершины С. 4*. Найдите координаты точки А, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек В(1; −3) и С(2; 0).

Решение задания 3

Давай решим задачу про треугольник по шагам.

а) Докажем, что ΔCDE – равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник CDE равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Найдем длины сторон CD, DE и CE, используя формулу расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

1. Найдем длину стороны CD:

C(2; 2), D(6; 5)

\[CD = \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
2. Найдем длину стороны DE:

D(6; 5), E(5; -2)

\[DE = \sqrt{(5 - 6)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]
3. Найдем длину стороны CE:

C(2; 2), E(5; -2)

\[CE = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Так как CD = CE = 5, треугольник CDE является равнобедренным.

Вывод: Треугольник CDE – равнобедренный, так как CD = CE.

б) Найдем биссектрису, проведенную из вершины C.

Для начала, давай определим координаты точки, в которой биссектриса из вершины C пересекает сторону DE. Обозначим эту точку K.

Свойство биссектрисы: Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

\[\frac{DK}{KE} = \frac{CD}{CE}\]

Так как CD = CE, то DK = KE. Это означает, что точка K является серединой отрезка DE.

Найдем координаты точки K как середины отрезка DE:

D(6; 5), E(5; -2)

\[K_x = \frac{D_x + E_x}{2} = \frac{6 + 5}{2} = \frac{11}{2} = 5.5\] \[K_y = \frac{D_y + E_y}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Итак, координаты точки K: (5.5; 1.5).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(2; 2) и K(5.5; 1.5). Уравнение прямой имеет вид y = mx + b, где m – угловой коэффициент, а b – свободный член.

1. Найдем угловой коэффициент m:
\[m = \frac{K_y - C_y}{K_x - C_x} = \frac{1.5 - 2}{5.5 - 2} = \frac{-0.5}{3.5} = -\frac{1}{7}\]
2. Найдем свободный член b, используя точку C(2; 2):
\[2 = -\frac{1}{7} \cdot 2 + b\] \[b = 2 + \frac{2}{7} = \frac{14 + 2}{7} = \frac{16}{7}\]

Итак, уравнение биссектрисы CK: y = -1/7x + 16/7.

Вывод: Биссектриса, проведенная из вершины C, описывается уравнением y = -1/7x + 16/7.

---

Решение задания 4

Разберемся с задачей на нахождение координат точки A.

Точка A лежит на оси ординат, значит, её координата x равна 0. Обозначим координаты точки A как (0; y).

Точка A равноудалена от точек B(1; -3) и C(2; 0). Это означает, что расстояние от A до B равно расстоянию от A до C. Запишем это в виде уравнения:

\[AB = AC\]

Используем формулу расстояния между двумя точками:

\[\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

1. Найдем расстояние AB:

A(0; y), B(1; -3)

\[AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{1 + (y + 3)^2}\]
2. Найдем расстояние AC:

A(0; y), C(2; 0)

\[AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y)^2} = \sqrt{4 + y^2}\]

Приравняем AB и AC:

\[\sqrt{1 + (y + 3)^2} = \sqrt{4 + y^2}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[1 + (y + 3)^2 = 4 + y^2\]

Раскроем скобки:

\[1 + y^2 + 6y + 9 = 4 + y^2\]

Упростим уравнение:

\[y^2 + 6y + 10 = y^2 + 4\]

Приведем подобные члены:

\[6y = -6\] \[y = -1\]

Итак, координаты точки A: (0; -1).

Вывод: Координаты точки A, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек B и C, равны (0; -1).

Ответ: A(0; -1)

Отлично, ты хорошо поработал(а) над этой задачей! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!