Треугольники ADE и MLK — прямоугольные, у которых гипотенузы AD и ML равны. Известно, что ∠A = 32°, ∠L = 58°. Укажите верные утверждения. 1) AE = LK 2) DE = MK 3) AE = MK 4) ΔADE = ΔMLK

Решение:

Дано два прямоугольных треугольника, ADE и MLK. Гипотенузы AD и ML равны. Известны углы: \( \angle A = 32^{\circ} \) и \( \angle L = 58^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Найдем неизвестные углы:

Для треугольника ADE: \( \angle ADE = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 32^{\circ} = 58^{\circ} \).

Для треугольника MLK: \( \angle K = 90^{\circ} - \angle L = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ} \).

Теперь сравним углы и стороны треугольников:

1. \( \angle A = 32^{\circ} \) и \( \angle K = 32^{\circ} \). \( \angle ADE = 58^{\circ} \) и \( \angle L = 58^{\circ} \). \( AD = ML \) (гипотенузы). По второму признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), \( \triangle ADE = \triangle MLK \). Утверждение 4 верно.
2. Если \( \triangle ADE = \triangle MLK \), то соответственные стороны равны. \( AE \) соответствует \( MK \), а \( DE \) соответствует \( LK \).
3. Так как \( \angle A = 32^{\circ} \) и \( \angle K = 32^{\circ} \), то противоположные им катеты равны: \( DE = ML \) — это гипотенуза, здесь ошибка. Катет \( DE \) лежит напротив угла \( A \), значит, \( DE \) соответствует катету, лежащему напротив угла \( K \), то есть \( ML \) — это гипотенуза. Катет \( DE \) лежит напротив \( \angle A \), следовательно, \( DE \) соответствует катету \( MK \) (лежащему напротив \( \angle L \)). Утверждение 2 верно.
4. Катет \( AE \) лежит напротив \( \angle ADE \) (58°), а катет \( LK \) лежит напротив \( \angle L \) (58°). Таким образом, \( AE = LK \). Утверждение 1 верно.
5. \( AE \) и \( MK \) — это катеты. \( AE \) лежит напротив \( \angle ADE \) (58°), а \( MK \) лежит напротив \( \angle L \) (58°). Следовательно, \( AE = MK \). Утверждение 3 верно.

Проверим утверждения еще раз:

\( \angle A = 32^{\circ}, \angle ADE = 58^{\circ} \)

\( \angle L = 58^{\circ}, \angle K = 32^{\circ} \)

\( AD = ML \)

1. \( AE \) (катет напротив 58°) = \( LK \) (катет напротив 58°). Верно.

2. \( DE \) (катет напротив 32°) = \( MK \) (катет напротив 32°). Верно.

3. \( AE \) = \( MK \). Верно.

4. \( \triangle ADE = \triangle MLK \) по гипотенузе и острому углу (\( AD = ML \) и \( \angle A = \angle K = 32^{\circ} \)). Верно.

Все утверждения верны.

Ответ: 1234