Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны, АВ = 6 см, ВС = 9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника А₁В₁С₁ равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А₁В₁С₁.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. Нам даны два подобных треугольника, ABC и A₁B₁C₁. Знаем стороны первого треугольника: AB = 6 см, BC = 9 см, CA = 10 см. Еще знаем, что наибольшая сторона второго треугольника, A₁B₁C₁, равна 7,5 см. Нужно найти две оставшиеся стороны этого второго треугольника.

Что такое подобные треугольники?

Это значит, что у них все углы равны, а стороны пропорциональны. Пропорциональность означает, что отношение соответствующих сторон одинаково. Это отношение называют коэффициентом подобия.

Шаг 1: Определим коэффициент подобия.

Наибольшая сторона в треугольнике ABC — это CA = 10 см. Наибольшая сторона в треугольнике A₁B₁C₁ нам дана — 7,5 см. Раз треугольники подобны, то наибольшие стороны соотносятся друг с другом.

Пусть k — это коэффициент подобия.

$$ k = \frac{\text{сторона большого треугольника}}{\text{соответствующая сторона маленького треугольника}} $$

или

$$ k = \frac{\text{сторона маленького треугольника}}{\text{соответствующая сторона большого треугольника}} $$

Давай найдем коэффициент, сравнивая наибольшие стороны:

$$ k = \frac{7.5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0.75 $$

Мы нашли коэффициент подобия, который показывает, во сколько раз стороны второго треугольника меньше сторон первого.

Шаг 2: Найдем остальные стороны второго треугольника.

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти две другие стороны треугольника A₁B₁C₁. Для этого нужно умножить соответствующие стороны треугольника ABC на коэффициент k.

Сторона, соответствующая AB (6 см):

$$ A_1B_1 = AB \times k = 6 \text{ см} \times 0.75 = 4.5 \text{ см} $$

Сторона, соответствующая BC (9 см):

$$ B_1C_1 = BC \times k = 9 \text{ см} \times 0.75 = 6.75 \text{ см} $$

Проверка:

Мы нашли стороны: 4.5 см, 6.75 см и 7.5 см. Самая большая из них — 7.5 см, как и было дано в условии. Все сходится!

Ответ: Две другие стороны треугольника A₁B₁C₁ равны 4,5 см и 6,75 см.