Треугольники АВС и DEF подобны, стороны АС и DF, BC и EF сход- ственные. Найдите периметр треугольника DEF, если АВ = 7 см, ВС = 8 см, АС = 9 см и АВ = 2DE.

Ответ: P_DEF = 12 см

Решение:

• Т.к. △ABC подобен △DEF, то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F и \(\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DE}\).
• Найдем стороны треугольника DEF:

Так как \(\frac{AB}{DE} = \frac{2DE}{DE}\), то DE = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) AB = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 7 = 3,5 см. Аналогично рассуждая, получим: DF = \(\frac{1}{2}\) AC = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 9 = 4,5 см; FE = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 8 = 4 см.
Откуда P_DEF = DE + DF + FE = 3,5 + 4,5 + 4 = 12 см.
Замечание. Задачу можно решить иначе, если заметить, что отношение периметров подобных треугольников относится как \(\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}} = \frac{AB}{DE}\), следовательно, \(P_{DEF} = \frac{DE}{AB} \cdot P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (7 + 8 + 9) = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12\) см.

Ответ: P_DEF = 12 см