Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки? б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки? в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

а) Да. Например, числа 1, 2, 4, 8, 16 не содержат хорошей тройки. Для любых трёх выбранных чисел сумма двух меньших не превосходит удвоенного наибольшего из двух меньших, а это меньше наибольшего числа.

б) Нет. Две различные отличные тройки не могут иметь две общие стороны: две стороны прямоугольного треугольника однозначно определяют третью сторону. Значит, любые две такие тройки среди четырёх чисел должны иметь не более одного общего числа. Если бы имелись три тройки, каждая пара треугольных троек должна была бы иметь по одному общему числу; тогда три общих числа попарно различны и в каждой тройке остаётся по одному отдельному числу — всего потребовалось бы не менее шести чисел. Это противоречит наличию лишь четырёх чисел.

в) Максимум равен 8. Возьмём десять различных чисел 3, 4, 5, 12, 13, 16, 20, 25, 48, 52. Среди них есть восемь отличных троек: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (12, 16, 20), (16, 30, 34) — последняя тройка не подходит, поэтому вместо неё используем (20, 21, 29), также не подходит выбранному набору. Вместо перечисления конструкции заметим, что максимум задачи без дополнительных ограничений на вещественные числа требует отдельного доказательства и не определяется приведёнными примерами.

Ответ: а) да; б) нет; в) для пункта в) в данном решении точный максимум не установлен.