584. Три экскаватора различной мощности могут вырыть котлован, работая по отдельности: первый — за 10 дней, второй — за 12 дней, третий — за 15 дней. За сколько дней они выроют котлован, работая совместно?

Обозначим объем котлована как 1.

Производительность первого экскаватора: $$1/10$$ котлована в день.

Производительность второго экскаватора: $$1/12$$ котлована в день.

Производительность третьего экскаватора: $$1/15$$ котлована в день.

Найдем общую производительность экскаваторов:

$$1/10 + 1/12 + 1/15 = 6/60 + 5/60 + 4/60 = 15/60 = 1/4$$ (котлована в день).

Чтобы найти, за сколько дней три экскаватора выроют котлован, работая совместно, нужно объем работы (1 котлован) разделить на общую производительность:

$$1 : 1/4 = 4$$ (дня).

Ответ: 4 дня.