Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом. Стороны треугольника O1O2O3 равны 6 см, 7 см и 8 см. Найдите радиусы окружностей.

Решение:

Обозначим радиусы окружностей как $$r_1$$, $$r_2$$ и $$r_3$$.

По условию, три окружности попарно касаются внешним образом. Это означает, что расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов.

Стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$ соединяют центры этих окружностей. Следовательно, мы имеем следующую систему уравнений:

• $$r_1 + r_2 = 6$$ (сторона $$O_1O_2$$)
• $$r_1 + r_3 = 7$$ (сторона $$O_1O_3$$)
• $$r_2 + r_3 = 8$$ (сторона $$O_2O_3$$)

Чтобы найти радиусы, решим эту систему.

1. Сложим все три уравнения:
   $$(r_1 + r_2) + (r_1 + r_3) + (r_2 + r_3) = 6 + 7 + 8$$
   $$2r_1 + 2r_2 + 2r_3 = 21$$
   $$2(r_1 + r_2 + r_3) = 21$$
   $$r_1 + r_2 + r_3 = \frac{21}{2} = 10.5$$
2. Найдем каждый радиус, вычитая из суммы поочередно уравнения изначальной системы:
   
   • $$r_3 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_2) = 10.5 - 6 = 4.5$$ см
   • $$r_2 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_3) = 10.5 - 7 = 3.5$$ см
   • $$r_1 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = 10.5 - 8 = 2.5$$ см

Проверка:

• $$r_1 + r_2 = 2.5 + 3.5 = 6$$ (верно)
• $$r_1 + r_3 = 2.5 + 4.5 = 7$$ (верно)
• $$r_2 + r_3 = 3.5 + 4.5 = 8$$ (верно)

Ответ: Радиусы окружностей равны 2.5 см, 3.5 см и 4.5 см.