Три окружности с центрами О1, О2, О3 попарно касаются внешним образом. Зная, что r1 = 2, r2 = 3, r3 = 12, найдите <O1O2O3.

1. Стороны треугольника O1O2O3 равны суммам радиусов касающихся окружностей: O1O2 = r1 + r2 = 2 + 3 = 5; O1O3 = r1 + r3 = 2 + 12 = 14; O2O3 = r2 + r3 = 3 + 12 = 15.

2. Используем теорему косинусов для нахождения угла O1O2O3. Пусть угол при вершине O2 равен $$\alpha$$. Тогда O1O3^2 = O1O2^2 + O2O3^2 - 2 * O1O2 * O2O3 * cos(\alpha).

3. Подставляем значения: 14^2 = 5^2 + 15^2 - 2 * 5 * 15 * cos(\alpha). 196 = 25 + 225 - 150 * cos(\alpha). 196 = 250 - 150 * cos(\alpha). 150 * cos(\alpha) = 250 - 196 = 54. cos(\alpha) = 54 / 150 = 9 / 25 = 0.36.

4. Угол $$\alpha$$ = arccos(0.36).