Три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ параллельны.

Обозначим общую середину отрезков через O. Выберем начало вектора в точке O. Тогда для радиус-векторов точек выполняются равенства:

\(\overrightarrow{OA_2}=-\overrightarrow{OA_1}\), \(\overrightarrow{OB_2}=-\overrightarrow{OB_1}\), \(\overrightarrow{OC_2}=-\overrightarrow{OC_1}\).

Следовательно,

\(\overrightarrow{A_2B_2}=\overrightarrow{OB_2}-\overrightarrow{OA_2}=-(\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OA_1})=-\overrightarrow{A_1B_1}\),

поэтому \(A_2B_2\parallel A_1B_1\).

Аналогично:

\(\overrightarrow{A_2C_2}=-\overrightarrow{A_1C_1}\),

значит, \(A_2C_2\parallel A_1C_1\).

В плоскости \(A_1B_1C_1\) пересекаются прямые \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\). В плоскости \(A_2B_2C_2\) им соответственно параллельны прямые \(A_2B_2\) и \(A_2C_2\). Поэтому данные плоскости параллельны или совпадают.

Совпасть они не могут: тогда середины отрезков \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\), то есть точка O, лежали бы в этой плоскости. Значит, все три отрезка лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.

Ответ: плоскости \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) параллельны.