Три поросёнка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф соревновались в беге по круговой дорожке. Они стартовали одновременно из одной точки в одном направлении и бежали до тех пор, пока снова не оказались в одной точке (неизвестно, была ли это точка старта или нет). Все три поросёнка бежали с постоянными скоростями, причём Ниф-Ниф бежал быстрее Нуф-Нуфа, но медленнее Наф-Нафа. За время бега Наф-Наф обогнал Нуф-Нуфа ровно 10 раз. Сколько всего было обгонов на этом соревновании?

Решение:

Обозначим скорости поросят как \( v_Н \) (Ниф-Ниф), \( v_Нф \) (Наф-Наф) и \( v_Нф-Нф \) (Нуф-Нуф). Из условия задачи известно, что \( v_Нф > v_Н \) и \( v_Н > v_Нф-Нф \). Это значит, что \( v_Нф > v_Н > v_Нф-Нф \).

Обгон происходит, когда более быстрый поросенок опережает более медленного на один полный круг. Наф-Наф обогнал Нуф-Нуфа 10 раз. Это значит, что за время соревнования Наф-Наф пробежал на 10 кругов больше, чем Нуф-Нуф. Разница в пройденных кругах равна 10.

Рассмотрим обгоны между всеми парами поросят:

1. Наф-Наф и Нуф-Нуф: \( v_{Нф} > v_{Нф-Нф} \). Наф-Наф обогнал Нуф-Нуфа 10 раз.
2. Ниф-Ниф и Нуф-Нуф: \( v_{Н} > v_{Нф-Нф} \). Ниф-Ниф тоже обгонял Нуф-Нуфа.
3. Наф-Наф и Ниф-Ниф: \( v_{Нф} > v_{Н} \). Наф-Наф тоже обгонял Ниф-Нифа.

Пусть \( N_{XY} \) — количество обгонов поросенка X поросенка Y. Мы знаем, что \( N_{Наф-Наф, Нуф-Нуф} = 10 \).

Разница в скоростях поросят определяет, сколько раз один обгонит другого за один круг. Если \( L \) — длина круга, то время, за которое Наф-Наф обогнал Нуф-Нуфа один раз, равно \( \frac{L}{v_{Нф} - v_{Нф-Нф}} \). Если за время \( T \) соревнований произошло 10 таких обгонов, то \( T = 10 \cdot \frac{L}{v_{Нф} - v_{Нф-Нф}} \).

Теперь рассмотрим другие пары:

Обгоны Ниф-Нифа над Нуф-Нуфом: \( N_{Ниф-Ниф, Нуф-Нуф} = T \cdot \frac{v_Н - v_{Нф-Нф}}{L} \)

Обгоны Наф-Нафа над Ниф-Нифом: \( N_{Наф-Наф, Ниф-Ниф} = T \cdot \frac{v_{Нф} - v_Н}{L} \)

Обгоны Ниф-Нифа над Нуф-Нуфом: \( N_{Ниф-Ниф, Нуф-Нуф} = T \cdot \frac{v_Н - v_{Нф-Нф}}{L} \)

Суммарное количество обгонов:

Всего обгонов = \( N_{Наф-Наф, Нуф-Нуф} + N_{Ниф-Ниф, Нуф-Нуф} + N_{Наф-Наф, Ниф-Ниф} \)

Пусть \( k_{XY} = \frac{v_X - v_Y}{v_{Нф} - v_{Нф-Нф}} \) — коэффициент, показывающий, сколько раз X обгонит Y, пока Наф-Наф обгонит Нуф-Нуфа один раз.

Используем тот факт, что \( v_{Нф} > v_{Н} > v_{Нф-Нф} \).

Обозначим \( v_{Нф} = v_3 \), \( v_{Н} = v_2 \), \( v_{Нф-Нф} = v_1 \). Тогда \( v_3 > v_2 > v_1 \).

Из условия \( N_{3,1} = 10 \). Общее количество обгонов = \( N_{3,1} + N_{2,1} + N_{3,2} \).

Используем относительные скорости. Пусть \( v_3 - v_1 = V_{31} \), \( v_2 - v_1 = V_{21} \), \( v_3 - v_2 = V_{32} \).

\( N_{3,1} = 10 \)

\( N_{2,1} = \frac{V_{21}}{V_{31}} \cdot N_{3,1} = \frac{v_2 - v_1}{v_3 - v_1} \cdot 10 \)

\( N_{3,2} = \frac{V_{32}}{V_{31}} \cdot N_{3,1} = \frac{v_3 - v_2}{v_3 - v_1} \cdot 10 \)

Так как \( v_3 > v_2 > v_1 \), то \( v_2 - v_1 \) и \( v_3 - v_2 \) меньше \( v_3 - v_1 \).

Суммарное количество обгонов = \( 10 + \frac{v_2 - v_1}{v_3 - v_1} \cdot 10 + \frac{v_3 - v_2}{v_3 - v_1} \cdot 10 \)

\( = 10 \cdot \left( 1 + \frac{v_2 - v_1}{v_3 - v_1} + \frac{v_3 - v_2}{v_3 - v_1} \right) \)

\( = 10 \cdot \left( \frac{v_3 - v_1 + v_2 - v_1 + v_3 - v_2}{v_3 - v_1} \right) \)

\( = 10 \cdot \left( \frac{2v_3 - 2v_1}{v_3 - v_1} \right) = 10 \cdot \left( \frac{2(v_3 - v_1)}{v_3 - v_1} \right) = 10 \cdot 2 = 20 \)

Таким образом, общее количество обгонов равно 20.

Ответ: 20