Решение задачи 5

Пусть ABCD - данная трапеция, где AB = BC = CD и AC = AD. Требуется найти углы трапеции.

1. Так как AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный. Пусть углы при основании AC равны $$x$$, то есть $$∠BAC = ∠BCA = x$$.

2. Так как AC = AD = CD, треугольник ACD - равнобедренный. Пусть углы при основании AD равны $$y$$, то есть $$∠CAD = ∠CDA = y$$.

3. Так как AD || BC, то углы ∠BCA и ∠CAD - накрест лежащие, следовательно, они равны: $$x = y$$.

4. Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно: $$∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°$$ $$y + y + ∠ACD = 180°$$ $$2y + ∠ACD = 180°$$ $$∠ACD = 180° - 2y$$

5. Рассмотрим трапецию ABCD. Угол ∠BAD равен сумме углов ∠BAC и ∠CAD, то есть: $$∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = x + y = y + y = 2y$$.

6. Так как трапеция ABCD равнобокая, то углы при основании AD равны: $$∠CDA = ∠BAD = 2y$$.

7. Рассмотрим треугольник ACD еще раз. Сумма углов треугольника ACD равна 180°, следовательно: $$∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°$$ $$y + 2y + 2y = 180°$$ $$5y = 180°$$ $$y = 36°$$

8. Тогда $$x = y = 36°$$. Найдем углы трапеции:

• $$∠CDA = ∠BAD = 2y = 2 cdot 36° = 72°$$
• $$∠ABC = ∠BCD = 180° - 72° = 108°$$

Ответ: Углы трапеции равны 72°, 108°, 108° и 72°.