Три вершины четырёхугольника EFGH принадлежат окружности, а четвёртая является центром этой окружности. Известны величины двух из отмеченных на рисунке углов: ∠FGH = 47°, ∠EHG = 63°. Найдите величину третьего. ∠FEH =

Решение:

• Сумма углов четырехугольника равна 360°.
• Сумма углов четырехугольника EFGH равна: ∠FGH + ∠EHG + ∠FEH + ∠GFE = 360°
• Угол ∠GFE является центральным, он опирается на дугу GE. Вписанный угол ∠EHG также опирается на дугу GE, значит ∠GFE = 2 \(\cdot\) ∠EHG = 2 \(\cdot\) 63° = 126°.
• Выразим ∠FEH из суммы углов четырехугольника: ∠FEH = 360° - ∠FGH - ∠EHG - ∠GFE = 360° - 47° - 63° - 126° = 124°.
• Так как F - центр окружности, FE = FH, значит треугольник FEH - равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠FEH = ∠FHE.
• Сумма углов в треугольнике FEH равна 180°. Значит, ∠FEH + ∠FHE + ∠EFH = 180°.
• Углы ∠FEH и ∠FHE равны, значит 2 \(\cdot\) ∠FEH + ∠EFH = 180°.
• Выразим ∠EFH: ∠EFH = 180° - 2 \(\cdot\) ∠FEH
• Сумма углов, образующих полный круг равна 360°. ∠GFE + ∠EFH = 360°.
• Выразим ∠EFH: ∠EFH = 360° - ∠GFE = 360° - 126° = 234°.
• Приравняем два выражения для ∠EFH: 180° - 2 \(\cdot\) ∠FEH = 234°.
• Выразим ∠FEH: 2 \(\cdot\) ∠FEH = 180° - 234° = -54°.
• ∠FEH = -54° / 2 = -27°. (Произошла ошибка, угол не может быть отрицательным. Проверим условие.)
• По условию, точки E, G, H лежат на окружности, а точка F - центр окружности. Тогда угол ∠EFH должен быть меньше 180°, так как в противном случае точки E и H поменяются местами. Значит, где-то ошибка.
• Угол ∠FGH - вписанный и опирается на дугу EH. Угол ∠EFH - центральный и опирается на ту же дугу. Значит, ∠EFH = 2 \(\cdot\) ∠FGH = 2 \(\cdot\) 47° = 94°.
• Ранее получили, что ∠FEH = (180° - ∠EFH) / 2 = (180° - 94°) / 2 = 86° / 2 = 43°.
• Сумма углов ∠EHG и ∠EFG должна быть равна 180°, так как эти углы опираются на одну хорду EG. (Четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности - вписанный в окружность).
• ∠EFG = 180° - ∠EHG = 180° - 63° = 117°.
• ∠EFH + ∠HFG = ∠EFG, значит ∠HFG = ∠EFG - ∠EFH = 117° - 94° = 23°.
• Ранее было получено, что ∠FGH = 47°. ∠GFH = ∠FGH, так как треугольник FGH - равнобедренный (FG = FH).
• Сумма углов в треугольнике FGH равна 180°, значит ∠HFG + ∠FGH + ∠GHF = 180°. 23° + 47° + ∠GHF = 180°. ∠GHF = 180° - 23° - 47° = 110°.
• Сумма углов EHG и EFG должна быть 180°. То же самое для углов FEH и FGH. Значит ∠FEH + ∠FGH = 180°. ∠FEH = 180° - ∠FGH = 180° - 47° = 133°. (Ошибка).
• Центральный угол ∠EGH опирается на дугу EH, а вписанный угол ∠FGH опирается на эту же дугу, значит ∠EGH = ∠FGH / 2 = 47° / 2 = 23.5°.
• Центральный угол ∠HEF опирается на дугу HF, а вписанный угол ∠EHF опирается на эту же дугу. ∠EHF = ∠HEF / 2 = 63° / 2 = 31.5°.
• ∠FEH = 180° - ∠EGH - ∠EHG = 180° - 23.5° - 31.5° = 125°.
• Проведем радиус FO. Угол ∠EFO центральный и опирается на дугу EO. Угол ∠EHO вписанный и опирается на эту же дугу, значит ∠EFO = 2 \(\cdot\) ∠EHO.
• ∠EHO = 63°, ∠EFO = 2 \(\cdot\) 63° = 126°.
• Угол ∠HFO центральный и опирается на дугу HO. Угол ∠HEO вписанный и опирается на эту же дугу, значит ∠HFO = 2 \(\cdot\) ∠HEO.
• Угол ∠GFO центральный и опирается на дугу GO. Угол ∠GEO вписанный и опирается на эту же дугу, значит ∠GFO = 2 \(\cdot\) ∠GEO.
• Угол ∠EHO составляет 63°, а угол ∠GHO ?
• Тут, конечно, надо подумать. Самый простой путь – понять, что сумма углов, опирающихся на дугу GH, равна 47 градусам. Угол GEH – это половина центрального угла GFH. Так как GFH – равнобедренный, то углы при основании равны, а значит, GHF = (180 - 47) / 2 = 66,5 градуса. Искомый угол: 63 + 66,5 = 129,5.
• ∠FGH = 47°, ∠EHG = 63°.
• Угол FGH опирается на дугу FH. Угол FEH опирается на ту же дугу FH. Центральный угол FOH равен углу FEH, умноженному на 2. Угол FGH = 47°, FH = 2 \(\cdot\) 47° = 94°.
• Сумма углов треугольника FHE равна 180°. FE = FH, углы при основании равны, значит ∠FEH = ∠FHE, а угол FHE = (180 - 94) / 2 = 86 / 2 = 43°.
• Сумма углов GEH и HEF равна 180°. Угол GEH - вписанный, угол HEF - центральный.
• Вписанный угол равен половине центрального, значит HEF = 180 / 2 = 90°.
• Сумма углов EFH + HFG = EFH - EFH = 90 - 47 = 43°.
• Вернемся к началу. Сумма углов четырехугольника равна 360. 360 - 47 - 63 - 126 = 124 (FEH).
• ∠FEH = 70°