Triangle KP with angle 60 degrees and side length 8 cm is shown. What is the length of the third side?

Решение:

Представлен прямоугольный треугольник KP. Один из острых углов равен \( 60^{\circ} \), а противолежащий ему катет равен \( 8 \) см. Необходимо найти длину гипотенузы.

1. Известно, что в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
2. В данном случае \( \alpha = 60^{\circ} \), противолежащий катет равен \( 8 \) см. Обозначим гипотенузу как \( P \).
3. Подставим значения в формулу: \( \sin(60^{\circ}) = \frac{8}{P} \)
4. Значение \( \sin(60^{\circ}) \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
5. Уравнение примет вид: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{P} \)
6. Выразим \( P \): \( P \cdot \sqrt{3} = 8 \cdot 2 \)
7. \( P \cdot \sqrt{3} = 16 \)
8. \( P = \frac{16}{\sqrt{3}} \)
9. Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \( P = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: Гипотенуза равна \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \) см.