Тригонометрия.

Решение:

1. Первый треугольник (верхний):

Дано: \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \). Найти: \( AB \).

По условию задачи, \( AB = 60^{\circ} \).

2. Второй треугольник (средний):

Дано: \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 60^{\circ} \), \( AC = 10 \). Найти: \( BC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) катет \( BC \) лежит против угла \( \angle A = 30^{\circ} \) (так как \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)).

Катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.

Следовательно, \( BC = \frac{1}{2} AB \).

Используя теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Подставим \( AB = 2 BC \): \( (2 BC)^2 = 10^2 + BC^2 \) \( 4 BC^2 = 100 + BC^2 \) \( 3 BC^2 = 100 \) \( BC^2 = \frac{100}{3} \) \( BC = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см.

3. Третий треугольник (нижний):

Дано: \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 45^{\circ} \), \( BC = 6 \). Найти: \( BC \).

Так как \( \angle A = 45^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Треугольник \( \triangle ABC \) — равнобедренный, так как \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( AC = BC \).

По условию \( BC = 6 \), поэтому \( AC = 6 \).

Ответ: 1. \( AB = 60^{\circ} \) (указано на чертеже); 2. \( BC = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) см; 3. \( BC = 6 \).