Ц 2.118. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6n − 1 и 6n + 1 являются числами-близнецами. Найдите пары двузначных чисел вида 6n − 1 и 6n + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — это простые числа, разность которых равна 2. Среди чисел до 500 получаем пары: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Всего получилось 24 пары.

б) Подставим значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. При n = 87: 521 и 523. Оба числа простые.
2. При n = 135: 809 и 811. Оба числа простые.
3. При n = 165: 989 и 991. Число 989 составное: 989 = 23 · 43; поэтому эта пара не является парой чисел-близнецов.

в) Для двузначных чисел n принимает значения от 2 до 16. Проверка пар этого вида даёт непарные простые числа в следующих случаях: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97). В каждой такой паре хотя бы одно число составное, поэтому это не числа-близнецы.

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) 9 пар, перечисленных выше.