Царский погреб. Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 4 яблока, или 7 яблок. 1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос. 2. Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии?

Пусть за день Жар-птица принесла яблоки несколькими полётами. Тогда общее количество имеет вид \(4a+7b\), где \(a\) и \(b\) — целые неотрицательные числа и \(a+b\ge 1\).

1. Числа 4 и 7 взаимно просты. Для каждого остатка при делении на 4 можно подобрать число полётов с 7 яблоками: остатки чисел \(7b\) по модулю 4 равны 0, 3, 2, 1 при \(b=0,1,2,3\). Поэтому любое число, начиная с достаточно большого, представимо как \(4a+7b\). Проверим малые натуральные числа до 17: непредставимы 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17; остальные числа от 1 до 17 представляются. Всего таких количеств 9.

2. Число 18 представимо: \(18=4+7+7\). Кроме того, каждое число от 18 до 21 представимо: \(19=3\cdot4+7\), \(20=54\), \(21=37\). Если число \(n\ge22\) представимо, то \(n+4\) тоже представимо, добавлением ещё одного полёта с 4 яблоками. Так как числа 18, 19, 20 и 21 представимы, все числа не меньше 18 представимы. Следовательно, наибольшее непредставимое натуральное число — 17.

Ответ: 1) 9; 2) 17.