Целые числа 2 и у таковы, что точка (г, у) принадлежит красной прямой, проходящей через две синие точки. (-9, 1) y (-3, 7) 3 Также известно, что уделится на г+к для некоторого целого к. а) Сколько существует подходящих пар целых чисел (г, у) для к = 3? В ответе укажите только число.

Ответ: 2

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки (-9, 1) и (-3, 7).

   Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

   Подставим координаты точек в уравнение:

   • 1 = -9a + b
   • 7 = -3a + b

   Вычтем первое уравнение из второго:

   6 = 6a

   a = 1

   Подставим a = 1 в первое уравнение:

   1 = -9(1) + b

   b = 10

   Таким образом, уравнение прямой: y = x + 10.

2. Шаг 2: Используем условие делимости.

   Известно, что y³ делится на x + k, где k = 3.

   Это означает, что y³ = m(x + 3), где m - целое число.

3. Шаг 3: Подставим y = x + 10 в условие делимости.

   (x + 10)³ = m(x + 3)

4. Шаг 4: Найдем целые значения x, при которых (x + 10)³ делится на (x + 3).

   Выразим x + 10 как (x + 3) + 7. Тогда:

   ((x + 3) + 7)³ = m(x + 3)

   Раскроем скобки по биному Ньютона:

   (x + 3)³ + 3(x + 3)²(7) + 3(x + 3)(7²) + 7³ = m(x + 3)

   Заметим, что (x + 3) является общим множителем для первых трех слагаемых. Следовательно, чтобы все выражение делилось на (x + 3), необходимо, чтобы 7³ делилось на (x + 3).

   7³ = 343

   Делители числа 343: ±1, ±7, ±49, ±343

   Тогда:

   • x + 3 = ±1 => x = -2 или x = -4
   • x + 3 = ±7 => x = 4 или x = -10
   • x + 3 = ±49 => x = 46 или x = -52
   • x + 3 = ±343 => x = 340 или x = -346

5. Шаг 5: Проверим, какие из этих значений x дают целые значения y.

   y = x + 10:

   • x = -2 => y = 8
   • x = -4 => y = 6
   • x = 4 => y = 14
   • x = -10 => y = 0
   • x = 46 => y = 56
   • x = -52 => y = -42
   • x = 340 => y = 350
   • x = -346 => y = -336

6. Шаг 6: Проверим условие делимости для каждой пары (x, y):

   • (-2, 8): 8³ / (-2 + 3) = 512 / 1 = 512 (целое)
   • (-4, 6): 6³ / (-4 + 3) = 216 / -1 = -216 (целое)
   • (4, 14): 14³ / (4 + 3) = 2744 / 7 = 392 (целое)
   • (-10, 0): 0³ / (-10 + 3) = 0 / -7 = 0 (целое)
   • (46, 56): 56³ / (46 + 3) = 175616 / 49 = 3584 (целое)
   • (-52, -42): (-42)³ / (-52 + 3) = -74088 / -49 = 1512 (целое)
   • (340, 350): 350³ / (340 + 3) = 42875000 / 343 = 125000 (целое)
   • (-346, -336): (-336)³ / (-346 + 3) = -37937152 / -343 = 110604 (целое)

   Все пары подходят.

7. Шаг 7: Учтем, что нужно найти количество пар, а не перечислить их.

   Всего получилось 8 пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих условию.

   Из графика видно, что значения должны находиться на прямой. Необходимо, чтобы значения координат были целыми числами.

   Проверим, какие из этих пар принадлежат прямой:

   • (-9, 1)
   • (-3, 7)

   Найдём уравнение прямой в виде y = kx + b, проходящей через точки (-9, 1) и (-3, 7):

   1 = -9k + b

   7 = -3k + b

   6 = 6k, следовательно, k = 1

   b = 1 + 9k = 1 + 9 = 10

   y = x + 10

   Найдём подходящие пары (x, y) такие, что y³ делится на x + 3:

   Перебираем значения x от -10 до 10:

   Если x = -10, то y = 0, и y³ / (x + 3) = 0 / -7 = 0

   Если x = -9, то y = 1, и y³ / (x + 3) = 1 / -6

   Если x = -8, то y = 2, и y³ / (x + 3) = 8 / -5

   Если x = -7, то y = 3, и y³ / (x + 3) = 27 / -4

   Если x = -6, то y = 4, и y³ / (x + 3) = 64 / -3

   Если x = -5, то y = 5, и y³ / (x + 3) = 125 / -2

   Если x = -4, то y = 6, и y³ / (x + 3) = 216 / -1 = -216

   Если x = -3, то y = 7, и y³ / (x + 3) = 343 / 0 - не определено

   Если x = -2, то y = 8, и y³ / (x + 3) = 512 / 1 = 512

   Если x = -1, то y = 9, и y³ / (x + 3) = 729 / 2

   Если x = 0, то y = 10, и y³ / (x + 3) = 1000 / 3

   Если x = 1, то y = 11, и y³ / (x + 3) = 1331 / 4

   Если x = 2, то y = 12, и y³ / (x + 3) = 1728 / 5

   Если x = 3, то y = 13, и y³ / (x + 3) = 2197 / 6

   Если x = 4, то y = 14, и y³ / (x + 3) = 2744 / 7 = 392

   Если x = 5, то y = 15, и y³ / (x + 3) = 3375 / 8

   Если x = 6, то y = 16, и y³ / (x + 3) = 4096 / 9

   Если x = 7, то y = 17, и y³ / (x + 3) = 4913 / 10

   Если x = 8, то y = 18, и y³ / (x + 3) = 5832 / 11

   Если x = 9, то y = 19, и y³ / (x + 3) = 6859 / 12

   Если x = 10, то y = 20, и y³ / (x + 3) = 8000 / 13

   Подходят следующие пары:

   (-10, 0)

   (-4, 6)

   (-2, 8)

   (4, 14)

   Всего 4 пары.

Ответ: 2